Matematika · Bab 2 Peluang

Sutrima

23/08/2021 08:37:54

SMA 11 KTSP

Lihat Katalog Lainnya

Daftar Isi

Bab 1 Statistika Bab 2 Peluang Bab 3 Komposisi Fungsi dan Invers Bab 4 Limit Bab 5 Turunan Bab 6 Nilai Ekstrim Fungsi

Halaman

65BAB II ~ PeluangPELUANGIIBABSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1. merumuskan dan menenerapkan aturan perkalian,2. merumuskan dan menerapkan aturan permutasi,3. merumuskan dan menerapkan aturan kombinasi,4. menentukan ruang sampel suatu percobaan acak,5. menentukan dan menafsirkan peluang kejadian untuk berbagai situasi,6. merumuskan dan menerapkan aturan penjumlahan pada kejadian majemuk,7. merumuskan dan menggunakan aturan perkalian pada kejadian majemuk.Tujuan Pembelajaran

Matematika Kelas XI - IPS SMA66Untuk menghadapi lomba renang tingkatSMA sekabupaten, panitia suatu SMA telahmemperoleh 10 calon. Dari sejumlah itu, 6 siswapandai gaya bebas dan 4 siswa pandai gaya kupu-kupu. Kemudian panitia akan membentuk anggotatim renang yang terdiri dari 3 siswa. Jika panitiabermaksud membentuk tim yang terdiri dari 2siswa pandai gaya bebas dan 1 siswa pandai gayakupu-kupu, berapa banyak susunan yangmungkin dapat dibentuk? Pertanyaan selanjutnya,jika panitia memilih 3 siswa tersebut secara acak,berapa besar peluang terbentuk tim dengansusunan seperti itu?Untuk menyelesaikan permasalahantersebut, Anda perlu terlebih dahulu mengingat kembali konsep-konsep dari himpunansemesta, operasi himpunan, dan diagram Venn.Selanjutnya, silakan Anda mempelajari isi babini. Setelah selesai diharapkan Anda dapat menerapkan hitung peluang untuk menyelesaikanmasalah terkait dalam kehidupan sehari-hari.Berapa banyak susunan yang mungkin dapat dibentuk adalah salah satu contoh kaidahpencacahan, dan berapa besar kemungkinan adalah contoh tentang tingkat keyakinan darikejadian yang belum pasti terjadi. Untuk mempelajari kaidah pencacahan dan mengukur tingkatkeyakinan tentang kepastian akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian dipelajari dalamcabang matematika Ilmu Hitung Peluang. Asal mula ilmu ini adalah dari pertanyaan seorangpenjudi Chevalier de Mere kepada Blaise Pascal (1623 1662) mengenai suatu masalahpembagian uang taruhan pada suatu perjudian, apabila permainan itu terpaksa dihentikansebelum selesai karena sesuatu hal. Dari kejadian ini Pascal dan Fermat (1601 1665) salingberdiskusi yang akhirnya memunculkan cabang matematika Ilmu Hitung Peluang.Kehadiran Ilmu Hitung peluang disambut baik oleh para ahli matematika maupun ahli-ahli ilmu lain, seperti fisika dan ekonomi, karena kontribusinya yang cukup besar terhadapilmu-ilmu tersebut.Sebagai dasar dalam mengkaji hitung peluang adalah aturan pencacahan. Oleh karenaitu, akan kita kaji lebih dahulu tentang aturan pencacahan ini.2.1 Aturan PencacahanDalam pengukuran ketidakpastian, ketidakpastian muncul dapat disebabkan karenasuatu tindakan atau karena sebagai akibat yang lain. Sebagai contoh, jika sebuah uanglogam dilemparkan, maka sebagai akibatnya akan muncul sisi angka atau sisi gambar. Sisimana yang akan muncul, tidak dapat kita katakan secara pasti. Kegiatan melempar uanglogam ini disebut tindakan. Tindakan itu dapat diulang beberapa kali dan rangkiantindakan itu disebut percobaan.Banyaknya hasil yang mungkin muncul pada berbagai macam percobaan akanditelusuri dalam kaidah-kaidah pencacahan. Misalnya, pada pemilihan pengurus OSISterdapat empat anak yang lolos untuk putaran terakhir, yaitu Anwar (A), Badu (B), Cindy(C), dan Dana (D). Pada putaran terakhir akan dipilih dua anak untuk menduduki posisiketua dan sekretaris. Pertanyaan yang muncul adalah berapa macam susunan pengurusyang akan menang?PengantarGambar 2.1 Lomba renangSumber: www.nda-cadets-indonesia.org

67BAB II ~ PeluangJawaban atas pertanyaan di atas dapat kita ikuti pada uraian berikut ini. Pada putaranakhir ada 4 kemungkinan pengisian posisi ketua, yaitu A, B, C, dan D. Setelah satu darimereka terpilih sebagai ketua, posisi sekretaris adalah satu dari tiga anak yang tidakterpilih sebagai ketua. Kemungkinan susunan posisi ketua dan sekretaris dapat dibentukdiagram pohon berikut.Gambar 2.2Diagram Pohon Penentuan Ketua dan Sekretaris OSISDari diagram ini diperoleh 4 × (4 1) = 12 susunan pasangan yang mungkin, yaituAB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, dan DC.Tidak ada aturan yang pasti untuk menjawab pertanyaan berapa banyak hasil yangmungkin muncul dari suatu percobaan. Secara umum, untuk menentukan berapa macamhasil yang mungkin muncul biasanya menggunakan salah satu atau gabungan daripendekatan-pendekatan: pengisian tempat yang tersedia, permutasi, dan kombinasi.2.1.1 Aturan Pengisian Tempat yang TersediaMisalkan di pasaran tersedia 4 merk TV. Masing-masing merk menyediakan3 jenis ukuran layar. Masing-masing TV dikeluarkan dengan 2 macam kualitassuara, stereo dan mono. Jika seorang pembeli akan membeli TV baru, berapa macampilihan yang dapat dilakukan olehnya?Untuk menjawab pertanyaan di atas pembeli menggunakan alur pemikiranberikut ini.Pertama, ketika memilih merk, terdapat 4 cara untuk memilih merk.Kedua, ketika memillih ukuran layar, terdapat 3 cara untuk memilih ukuran layar.Ketiga, ketika memilih kualitas suara, terdapat 2 cara untuk memilih kualitassuara.ABCDBCDACDABDABC

Matematika Kelas XI - IPS SMA68Jadi, seluruhnya terdapat 4 × 3 × 2 = 24 cara untuk memilih pasangan merk,ukuran layar, dan kualitas suara. Tanpa menyadari, pembeli itu sebenarnya telahmenggunakan teknik mencacah dengan aturan perkalian.Aturan PerkalianJika terdapat n buah tempat tersedia, dengan:k1adalah banyak cara mengisi tempat pertama,k2adalah banyak cara mengisi tempat kedua setelah tempatpertama terisi, ... dan seterusnya,knadalah banyak cara mengisi tempat ke-n setelah (n 1) tempat-tempat sebelumnya terisi,maka banyak cara mengisi n tempat yang tersedia itu secarakeseluruhan adalah:k1 × k2 × k3 × ... × knJika kita perhatikan aturan perkalian di atas, dalam menentukan banyakcara untuk mengisi k tempat yang tersedia menggunakan operasi perkalian dalamaljabar biasa. Untuk lebih memahami aturan ini kita ikuti contoh aplikasi berikutini.Contoh 2.1.1Ucok ingin bepergian dari kota Pke kota R. Dari kota P ke kota Q dapat ditempuhmelalui 3 jalan, sedangkan dari kota Q ke kota R dapat ditempuh melalui 2 jalan.Berapa banyak cara yang dapat ditempuh Ucok, jika ingin bepergian dari kota Pke kota R melalui kota Q?Penyelesaian:Dari kota P ke kota Q, terdapat 3 cara.Dari kota Qke kota R, terdapat 2 cara.Dari kota P ke kota R melalui kota Q, terdapat 3 × 2 = 6 cara.Jadi, banyak cara yang dapat dipilih Ucok untuk bepergian dari kota P ke kota Rmelalui kota Q adalah 6 cara.WContoh 2.1.2Dari huruf S, O, P, A, dan N akan dibentuk susunan huruf sehingga dalam susunantersebut tidak ada huruf yang sama. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf itu, apabila:a. huruf dimulai dengan huruf vokal?b. huruf pertama dimulai dengan huruf konsonan?Penyelesaian:a. Huruf pertama dimulai dengan huruf vokal.Huruf pertama dapat dipilih dengan 2 cara, yaitu huruf O dan A.Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya, jika huruf pertama kitapilih O, maka huruf kedua dapat kita pilih S, P, A, dan N.Huruf ketiga dapat kita pilih dengan 3 cara.Huruf keempat dapat kita pilih dengan 2 cara.Huruf kelima dapat kita pilih dengan 1 cara.

69BAB II ~ PeluangSeluruhnya terdapat 2432148××××= cara.Jadi, banyak cara untuk menyusun huruf S, O, P, A, dan N dengan hurufpertama dimulai huruf vokal seluruhnya ada 48 cara.b. Huruf pertama dimulai dengan huruf konsonan.Huruf pertama dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu huruf S, P, dan N.Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya, jika huruf pertama kitapilih S, maka huruf kedua dapat kita pilih O, P, A, dan N.Huruf ketiga dapat kita pilih dengan 3 cara.Huruf keempat dapat kita pilih dengan 2 cara.Huruf kelima dapat kita pilih dengan 1 cara.Seluruhnya terdapat 2432148××××= cara.Jadi, banyak cara untuk menyusun huruf-huruf S, O, P, A, dan N denganhuruf pertama dimulai huruf konsonan seluruhnya ada 72 cara.WContoh 2.1.3Panitia penerimaan siswa baru suatu sekolah akan membuat nomor ujian pesertayang terdiri dari 4 angka, dari angka yang tersedia 1, 2, 3, 4, dan 5. Tetapi panitiamenginginkan bahwa nomor ujian tidak diawali dengan angka 1. Berapa banyakcara untuk menyusun nomor ujian itu menjadi 4 angka, apabila:a. nomor ujian itu boleh mempunyai angka yang sama?b. nomor ujian itu tidak boleh mempunyai angka yang sama?Penyelesaian:a. Nomor ujian itu boleh mempunyai angka yang samaAngka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu angka 2, 3,4, dan 5 karena disyaratkan angka pertama tidak boleh angka 1.Karena nomor diperbolehkan mempunyai angka yang sama, maka:angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dengan 5 cara,angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dengan 5 cara,angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dengan 5 cara.Dengan aturan perkalian, seluruhnya terdapat 4 × 5 × 5 × 5 = 500 cara.Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 1, 2, 3, 4, dan 5 menjadi 4 angkadengan angka pertama bukan angka 1 adalah 500 cara.b. Nomor ujian itu tidak boleh mempunyai angka yang samaAngka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dengan 4 cara, lihat jawabansebelumnya.Angka kedua (sebagai ratusan) hanya dapat dipilih dengan 4 cara karena nomortidak diperbolehkan mempunyai angka yang sama. Misalnya setelah dipilihangka pertama 2, maka angka kedua yang dapat dipilih tinggal 4 angka, yaitu1, 3, 4, dan 5.Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dengan 3 cara.Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dengan 2 cara.Menurut aturan perkalian, seluruhnya terdapat 4 × 4 × 3 × 2 = 96 cara.Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 1, 2, 3, 4, dan 5 menjadi 4 angkadengan angka pertama bukan angka 1 dan tidak boleh ada angka yang samaadalah 96 cara.W

Matematika Kelas XI - IPS SMA70Contoh 2.1.4Diberikan lima buah angka: 0, 1, 2, 3, dan 4, akan disusun bilangan-bilangangenap yang terdiri dari tiga angka. Berapa banyak cara untuk menyusunbilangan-bilangan genap yang terdiri tiga angka, apabila:a. bilangan-bilangan genap itu boleh mempunyai angka yang sama?b. bilangan-bilangan genap tidak boleh mempunyai angka yang sama?Penyelesaian:Bilangan genap adalah bilangan yang pada posisi satuan adalah bilangan genap.Dalam hal ini haruslah 0, 2, atau 4.a. Bilangan-bilangan genap boleh mempunyai angka yang samaAngka pertama (sebagai ratusan) dapat dipilih dengan 4 cara. Angka 0 tidakdapat dipilih sebagai angka pertama karena 012 sebagai contoh, bukan bilanganyang terdiri dari tiga angka.Angka kedua (sebagai puluhan) dapat dipilih dengan 5 cara.Angka ketiga (sebagai satuan) dapat dipilih dengan 3 cara. Angka ketiga yangdapat dipilih adalah 0, 2, dan 4.Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dengan 5 cara.Dengan aturan perkalian, seluruhnya terdapat 4 × 5 × 3 = 60 cara.Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 0, 1, 2, 3, dan 4 menjadi bilangangenap yang terdiri 3 angka dengan bilangan-bilangan itu boleh mempunyaiangka yang sama adalah 60 cara.b. Bilangan-bilangan genap tidak boleh mempunyai angka yang samaAngka pertama (sebagai ratusan) dapat dipilih dengan 4 cara.Angka kedua (sebagai puluhan) hanya dapat dipilih dengan 4 cara karenabilangan tidak boleh mempunyai angka yang sama.Angka ketiga (sebagai satuan) dapat dipilih dengan 3 cara.Seluruhnya terdapat 4 × 4 × 3 = 48 cara.Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 0, 1, 2, 3, dan 4 menjadi bilangangenap yang terdiri 3 angka dengan bilangan-bilangan itu tidak bolehmempunyai angka yang sama adalah 48 cara.WMisalkan, untuk bepergian dari kota P ke kota R kita dapat melewati kota Qatau melewati kota S dengan berbagai alternatif jalur. Misalkan kita pergi darikota P ke kota Q mempunyai 3 jalur pilihan, kemudian dari kota Q ke kota Rtersedia 2 jalur pilihan, maka menurut aturan perkalian untuk bepergian dari kotaP ke kota R melewati kota Q kita mempunyai 3 × 2 jalur.Selanjutnya, misalkan kita pergi dari kota P ke kota S tersedia 2 jalur pilihan,kemudian dari kota S kita hanya mempunyai 1 jalur untuk sampai di kota R, makabanyaknya jalur yang tersedia bagi kita untuk bepergian dari kota P ke kota Rmelewati kota S adalah 2 × 1 jalur.

71BAB II ~ PeluangLihat Gambar 2.3.Gambar 2.3 Diagram Pohon Jalur Perjalanan Dari Kota P ke Kota RDari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa untuk bepergian darikota P ke kota R kita mempunyai (3×2) + (2×1) = 8 jalur pilihan. Dalam pencacahanini kita menggunakan apa yang disebut aturan penjumlahan. Aturan penjumlahankita gunakan untuk melengkapi aturan perkalian, apabila cara mengisi tempatkedua setelah tempat pertama terisi tidak dapat kita lakukan menggunakan sesuatuyang sudah digunakan sebagai pilihan untuk mengisi tempat pertama. Secaraumum kita mempunyai aturan penjumlahan berikut ini.Aturan PenjumlahanJika terdapat n peristiwa yang saling lepas, dengan:c1adalah banyak cara pada peristiwa pertama,c2adalah banyak cara pada peristiwa kedua, ... dan seterusnya,cnadalah banyak cara pada pada peristiwa ke-n,maka banyak cara untuk n buah peristiwa secara keseluruhan:c1 + c2 + c3 + ... + cn2.1.2 PermutasiPermutasi dibedakan menjadi 4 macam, yaitu permutasi dari unsur-unsur yangberbeda, permutasi yang memuat beberapa unsur sama, permutasi siklis, dan permutasiberulang.1.Permutasi dari Unsur-Unsur yang BerbedaPada putaran akhir pemilihan pengurus OSIS seperti telah dibahas padaawal bab, ada 2 tempat yang tersedia untuk diisi oleh 2 anak dari 4 anak (A, B,C, dan D). Posisi ketua dapat diisi dengan 4 cara. Karena tidak mungkin ketuamerangkap sekretaris, maka posisi sekretaris dapat diisi dengan (4 1) = 3cara. Secara keseluruhan untuk memilih pasangan ketua-sekretaris ada 4 × 3 =12 cara. Pada contoh itu, anak yang telah terpilih sebagai ketua tidak dapatdipilih kembali untuk menduduki posisi sekretaris. Pemilihan seperti itu kitasebut pemilihan tanpa pemulihan.PSRQ12312112

Matematika Kelas XI - IPS SMA72Secara umum, banyak cara menempatkan n buah unsur ke dalam ktempat yang tersedia itu disebut permutasik unsur dari n unsur, yangdinotasikan dengan nkP, yang diberikan sebagai:×−×−××−+L= ( 1) ( 2) ( 1)nkPnn nnkdengan kn≤. Beberapa buku menggunakan notasi nPk, nPk atau P(n,k) untuknkP.Dengan notasi ini, pada masalah penentuan ketua dan sekretarisdari 4 anak di atas, merupakan permutasi k = 2 unsur dari n = 4 unsur,sehingga banyak cara menentukan ketua dan sekretaris sama dengan42P = 4 × (42+1) = 4 × 3 = 12.Jika pada putaran akhir pemilihan pengurus OSIS di atas dari keempatcalon akan ditentukan ketua, sekretaris, bendahara, dan pembantu umum, adaberapa macam susunan pengurus yang mungkin timbul?Masalah ini adalah pengisian tempat tanpa pemulihan dari 4 unsur kedalam 4 tempat yang tersedia. Posisi ketua adalah salah satu dari empat anakitu. Yang menjadi sekretaris adalah salah satu dari 3 orang yang tersisa, yangmenjadi bendahara adalah salah satu dari 2 orang yang tersisa. Akhirnya posisipembantu umum hanya dapat ditempati satu anak. Dalam hal ini adalah kasuspermutasi dari n = 4 anak ke dalam k = 4 tempat yang tersedia. Sehingga,banyaknya susunan pengurus adalah 44P = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.Secara umum, jika k = n, maka permutasi n unsur dari n unsur yangtersedia disebut permutasin, yang diberikan oleh:= ( 1) ( 2) 3 2 1nnPnn n×−×−××××LBagaimana hubungan nkP dan nnP? Untuk menjawab pertanyaan ini, terlebihdahulu kita bahas pengertian faktorial dari bilangan asli.Faktorial dari suatu bilangan asli didefinisikan berikut ini.Untuk sembarang bilangan asli n, didefinisikan! ( 1)( 2) 321nnn n=×−×−××××LNotasi n! dibaca n faktorial. Didefinisikan pula bahwa 0! = 1 dan 1! = 1.Sebagai contoh,4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 246! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7209! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362.880, ... , dan seterusnya.

73BAB II ~ PeluangDengan pengertian faktorial, kita dapat menuliskan permutasi sebagai:= ( 1) ( 2) 3 2 1 !nnPnn nn×−×−××××=L (2.1)Lebih lanjut, karena ()= ( 1) ( 2)1nkPnn nnk×−×−××−+L, maka= ( 1)( 2) ( 1)( )( 1) 321nnP n n nnk nk nk×−×−××−+×−×−−××××LL!()!nknPnk=−Jadi, kita memperoleh hubungan:!()!nknPnk=−, nk≥ (2.2)Contoh 2.1.5Tunjukkan bahwa !(1)!nnn=× −.Penyelesaian:Dari definisi nfaktorial,()! ( 1)( 2) 321 ( 1)!nnn nnn=×−×−××××=×−LWContoh 2.1.6Hitunglah nilai dari setiap permutasi berikut.a.52Pb. 64Pc. 105Pd. 88PPenyelesaian:Dengan persamaan (2.1) dan (2.2), kita peroleh:a.525!5!5 43215420( 52)! 3! 3 2 1P××××====×=−××b.646! 6! 6 54 3 2 16543360(6 4)! 2! 2 1P×××××====×××=−×c.10410! 10!(10 4)! 6!10 9 8 7 6 54 3 2 165432110 9 8 7 5020P==−×××××××××=×××××= ××× =d.888! 8 7 6 54 3 2 1 40.320P= =×××××××=W

Matematika Kelas XI - IPS SMA74Tugas MandiriDengan hasil (2.1) dan (2.2), buktikan: −()!nknkP = −!nnkkP = nnP.Contoh 2.1.7Berapakah banyak permutasi dari 2 huruf yang diambil dari 4 huruf: A, B, C,dan D.Penyelesaian:Hal ini merupakan permutasi dari 4 unsur ke dalam 2 unsur, sehingga menurutpersamaan (2.2) banyak permutasi adalah:424! 4 3 2 112(4 2)! 2 1P×××== =−×Susunan huruf yang mungkin terlihat pada Gambar 2.4.Gambar 2.4 Permutasi 2 Huruf dari 4 HurufW2.Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur SamaPada bagian sebelumnya telah kita bahas permutasi dari n unsurberbeda, bagaimana jika dari n unsur itu terdapat beberapa unsur yang sama.Untuk menjawab pertanyaan ini coba kita ikuti ilustrasi pada contoh berikutini.ABACADBABCBCCACBCDDADBDChurufhurufsusunan hurufABCDABCABCABCABC

75BAB II ~ PeluangContoh 2.1.8Berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf P, Q, dan Q?Penyelesaian:Unsur yang tersedia ada 3, yaitu P, Q, dan Q. Dari ketiga unsur ini ada duaunsur yang sama, yaitu huruf Q. Akan kita gunakan pendekatan permutasidengan 3 unsur yang berbeda untuk menentukan banyak permutasi dari 3 unsuryang memuat 2 unsur sama. Pertama, anggap 2 unsur yang sama yaitu Q sebagaidua unsur yang berbeda dengan memberinya indeks Q1 dan Q2.Banyak permutasi 3 unsur yang berbeda P, Q1, dan Q2 adalah 3! = 6, yaitupermutasi-permutasi:PQ1Q2, PQ2Q1, Q1PQ2,Q1Q2P, Q2PQ1, Q2Q1PDengan menghapus indeks-indeksnya, permutasi di atas dapat kitakelompokkan ke dalam permutasi yang sama. Misalnya,- Kelompok PQ1Q2 dan PQ2Q1, jika indeksnya dihapuskan, maka diperolehpermutasi PQQ.- Kelompok Q1PQ2 dan Q2PQ1, jika indeksnya dihapuskan, maka diperolehpermutasi QPQ.- Kelompok Q1Q2P dan Q2Q1P, jika indeknya dihapuskan, maka diperolehpermutasi QQP.Tampak bahwa jika indeksnya dihapuskan, maka setiap kelompok yang terdiridari 2! = 2 permutasi, berubah menjadi 1 permutasi. Oleh karena itu, banyakpermutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur sama adalah 3, yang dapat kitanyatakan sebagai:3! 3 2 132! 2 1P××===×dengan permutasinya adalah PQQ, QPQ, dan QQP.WBerdasarkan contoh di atas, secara umum kita mempunyai aturanberikut ini.1. Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama dengankn≤, maka banyak permutasi dari n unsur adalah:!!nPk= (2.3)2. Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, lunsur yang sama, dan m unsur yang sama dengan klmn++ ≤,maka banyak permutasi dari n unsur itu adalah:!!! !nPklm= (2.4)

Matematika Kelas XI - IPS SMA76Contoh 2.1.9Misalkan terdapat 7 buah foto, 4 buah foto dengan bingkai berbentuk persegidan 3 buah foto dengan bingkai berbentuk oval. Berapa banyak cara untukmenyusun 7 buah foto itu secara berdampingan?Penyelesaian:Banyak unsur: n= 7, banyak unsur yang sama: k = 4 (untuk foto dengan bingkaipersegi) dan l = 3 (untuk foto dengan bingkai oval). Jadi, banyak cara untukmenyusun 7 buah foto itu secara berdampingan adalah7! 7 6 54 3 2 175354!3! (4 3 2 1)(3 2 1)P××××××===×=××× ××W3.Permutasi SiklisMisalkan Awan (A), Beti (B), dan Cinta (C) pergi ke restoran, merekaduduk mengelilingi meja berbentuk lingkaran. Posisi duduk mereka hanyadua kemungkinan seperti diperlihatkan oleh gambar berikut ini.Gambar 2.5Posisi Duduk 3 Orang MelingkarDalam bentuk bagan, Gambar 2.5 dapat kita sederhanakan menjadiGambar 2.6. (a)(b)Gambar 2.6 Bagan Posisi Duduk 3 Orang MelingkarDari Gambar 2.6 (a) jika dibaca searah dengan arah putaran jarum jam, kitaperoleh 3 susunan yang mungkin, yaitu:ABC, BCA, dan CAB⊗⊗⊗BAC⊗⊗⊗BAC

77BAB II ~ PeluangTetapi ketiga susunan ini sebenarnya memberikan sebuah susunan yangsama, yaitu susunan yang diperlihatkan oleh Gambar 2.6 (a).Seperti susunan Gambar 2.6 (a), susunan Gambar 2.6 (b) jika dibaca searahdengan arah putaran jarum jam, kita peroleh 3 susunan yang mungkin, yaitu:ACB, CBA, dan BACKetiga susunan ini memberikan sebuah susunan yang sama, yaitu susunanyang diperlihatkan oleh Gambar 2.6 (b).Dari kedua ilustrasi ini, dapat kita simpulkan bahwa banyak susunan darihuruf A, B, dan C yang ditempatkan pada kurva tertutup berbentuk lingkaranadalah 2! = 2 macam, yaitu susunan yang diberikan oleh Gambar 2.6.Penempatan unsur-unsur dengan cara inilah yang disebut permutasi siklisatau permutasi sirkuler (circular permutation). Secara umum kita mempunyaiaturan berikut ini.Jika tersedia n unsur yang berbeda, maka banyak permutasi siklisnyaadalahsiklis(1)!Pn=− (2.5)Untuk memahami tentang permutasi siklis ini, kita ikuti contoh berikut.Contoh 2.1.10Berapa cara yang mungkin dapat dibuat, jika dalam suatu pesta makan terdapat7 orang yang duduk dalam:a. berjajar dalam satu baris,b. meja makan bundar.Penyelesaian:a. Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari7 unsur, sehingga menurut persamaan (2.1),==777! 5.040P caraJadi, jika 7 orang tersebut duduk berjajar dalam satu baris, maka banyakcara mereka duduk ada 5.040 cara.b. Posisi duduk mengelilingi meja makan bundar merupakan permutasi siklisdari 7 unsur, sehingga menurut persamaan (2.5),siklis(7 1) 6! 720P=−== caraJadi, jika 7 orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar, maka banyakcara mereka duduk ada 720 cara.W4.Permutasi BerulangKita ingat kembali bahwa permutasi dari 3 huruf, P, Q dan R, adalahsusunan-susunan yang berbentuk:PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP

Matematika Kelas XI - IPS SMA78Dalam susunan ini, unsur-unsur yang tersedia tidak boleh berulang. Jikaunsur-unsur yang tersedia boleh berulang, misalkanPPP, PPQ, PPR, ..., QQP, QQR...., dan seterusnyamaka permutasi semacam ini disebut permutasi berulang (repeated permutation).Dengan memperhatikan permutasi di atas, maka banyaknya permutasiberulang dari huruf P, Q, dan R ditentukan sebagai berikut.- Huruf pertama dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu huruf P, Q, dan R.- Huruf kedua dan huruf ketiga dapat dipilih masing-masing dengan 3 carakarena huruf-hurufnya boleh berulangDengan menggunakan aturan perkalian, maka banyak permutasi seluruhnyaadalah:33333 27×× = =Jika dari 3 huruf, P, Q, dan R, akan disusun 2 huruf dengan huruf-hurufboleh berulang, maka banyak permutasi berulang dua huruf yang diambil dari3 huruf yang tersedia ditentukan sebagai berikut.- Huruf pertama dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu huruf P, Q, dan R.- Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara karena huruf-hurufnya bolehberulang.Dengan menggunakan aturan perkalian, maka banyak permutasi seluruhnyaadalah:2333 9×= =Dari dua ilustrasi di atas, maka secara umum kita mempunyai aturanberikut ini.Jika tersedia n unsur yang berbeda, maka banyak permutasi berulangk unsur yang diambil dari n unsur ()kn≤ adalah:berulangkPn=(2.6)Contoh 2.1.11Diberikan angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, akan dibentuk bilangan-bilangan yangterdiri dari 4 angka dengan angka-angka boleh berulang. Berapa banyakbilangan yang dapat dibentuk?Penyelesaian:Banyak unsur yang tersedia adalah n = 6, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Dibentukbilangan yang terdiri dari 4 angka, kita ambil k = 4. Karena angka-angka bolehberulang, maka bilangan yang tersusun merupakan permutasi berulang, dengank = 4, sehingga dengan persamaan (2.6) kita peroleh==4berulang6 1.296PJadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk seluruhnya ada 1.296 macam.W

79BAB II ~ Peluang2.1.3 KombinasiSekolah akan mengikuti perlombaan paduan suara yang tiap regunya terdiridari 2 anak. Dari hasil seleksi diperoleh 4 anak, A, B, C dan D,yang memenuhikriteria yang telah ditentukan. Pertanyaannya adalah berapa regu yang dapatdipilih dari empat anak tersebut?Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan kembali banyaknya cara keempatanak, A, B, C, dan D, dapat menempati tempat pertama dan kedua. Kemungkinan-kemungkinannya adalah:{AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}Kita tahu bahwa susunan AB dan susunan BA menentukan satu regu yangsama karena tidak memperhatikan urutan. Demikian pula halnya susunan AC =CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB, dan CD = DC. Jadi, ada 12 2 6=cara untukmenyusun regu paduan suara yang terdiri atas 2 anak dari 4 anak yang tersedia,{AB, AC, AD, BC, BD, CD}Banyak cara memilih 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia disebut kombinasi2unsur dari4unsur. Secara umum kita mempunyai definisi berikut ini.Definisi:Kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah suatupilihan dari k unsur tanpa memperhatikan urutannya ()kn≤,dinotasikan dengan nkC.Dengan kata lain, banyak kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yangtersedia adalah banyak cara memilih k unsur yang diambil dari n unsur yangtersedia tanpa memperhatikan urutannya.Kita masih ingat bahwa banyaknya cara memilih 2 anak dari 4 anak untukditempatkan dalam dua kedudukan yang berbeda adalah permutasi 2 unsur dari4 unsur yang tersedia, yaitu 424!12(4 2)!P==−. Untuk kombinasi AB yang tataletak unsur-unsur A dan B-nya tidak diperhatikan, dapat diturunkan 2! = 2permutasi karena setiap kombinasi memberikan 2 permutasi. Jadi, kita perolehhubungan:44222CP= atau 44222PC=Secara umum, untuk setiap kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia,kita dapat membentuk !kkPk= permutasi. Oleh karena itu, terdapat hubunganantara kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia, yaitu nkC, dengan permutasik unsur dari n unsur yang tersedia, yaitu nkP adalah:!!( )!nnkkkkPnCPknk==− (2.7)

Matematika Kelas XI - IPS SMA80Contoh 2.1.12Hitunglah nilai dari setiap kombinasi berikut.a.52Cb. 64Cc. 105Cd. 73CPenyelesaian:Langsung kita gunakan rumus pada persamaan (2.7), diperoleh:a.525!5!5 432152102!( 52)! 2!3! (2 1)(3 2 1)C××××====×=−×××b.646! 6! 6 54 3 2 154!(6 4)! 4!2! (4 3 2 1)(3 2 1)C×××××====−××× ××c.10510! 10!5!(10 5)! 5!5!10 9 8 7 6 54 3 2 12927252(54321)(54321)C==−×××××××××==×××=×××× ××××d.737! 7! 7 6 54 3 2 175353!(73)! 3!4!(321)(4321)C××××××====×=−×××××WContoh 2.1.13Berapakah kemungkinan jumlah kombinasi yang dapat dibuat dari 4 orang, A, B,C, dan D, yang ingin membuat suatu panitia yang terdiri 3 orang?Penyelesaian:Masalah ini adalah kombinasi 3 unsur dari 4 unsur yang tersedia, sehingga daripersamaan (2.7) diperoleh:434! 4! 4 3 2 143!(4 3)! 3!1! 3 2 1 1C×××=== =−×××Jadi, terdapat 4 kemungkinan panitia yang terdiri dari 3 orang yang dapat dibentukdari 4 orang, yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD.WContoh 2.1.14Hitunglah nilai n , apabila 245nCn=+.Penyelesaian:Dari rumus pada persamaan (2.7) kita peroleh:2(1)(2)(3) 321 (1)!2!( 2)! (2 1)(( 2) ( 3) 3 2 1) 2nnn n nnnnCnnn×−×−×−×××× ×−===−×−×−××××LL

81BAB II ~ PeluangDi pihak lain, diketahui bahwa 245nCn=+, sehingga diperoleh hubungan:(1)452nnn×−=+⇔2810nn n−= +⇔29100nn−−=⇔(10)(1)0nn−+=⇔10n= atau 1n=−Karena n harus bilangan asli, maka n yang memenuhi adalah n = 10.WPada bagian akhir ini, kita akan menyelesaikan masalah pembentukan timlomba renang yang diungkapkan pada awal bab.Contoh 2.1.15Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim lomba renang dari suatuSMA. Dari sejumlah siswa itu, 6 siswa pandai gaya bebas dan 4 siswa pandai gayakupu-kupu. Tim yang dibentuk beranggotakan 3 siswa, yang terdiri dari 2 siswapandai gaya bebas dan 1 siswa pandai gaya kupu-kupu. Berapa banyak susunanyang mungkin dapat dibentuk?Penyelesaian:Dua siswa dipilih dari 6 siswa yang pandai gaya bebas, sehingga kombinasinyaadalah 626!152!(6 2)!C==− cara. Seorang anggota dipilih dari 4 siswa yang pandaigaya kupu-kupu, sehingga kombinasinya 414!41!(4 1)!C==− cara. Denganmenggunakan aturan perkalian, banyak susunan tim lomba renang yang terdiridari 2 siswa pandai gaya bebas dan 1 siswa pandai gaya kupu-kupu adalah:64211 54 60CC×=×=Jadi, banyak susunan tim lomba renang yang terdiri dari 2 siswa pandai gayabebas dan 1 siswa pandai gaya kupu-kupu yang dipilih dari 6 siswa pandai gayabebas dan 4 siswa pandai gaya kupu-kupu adalah 60 susunan.WAturan Pengisian Tempat yang Tersedia1. Suatu kelompok penari latar mempunyai:baju berwarna: merah, pink, biru, kuning, dan hijau,rok pendek berwarna: putih, ungu, dan cokelat,sepatu berwarna: merah dan hitam.Latihan 2.1

Matematika Kelas XI - IPS SMA82a. Gambarkan diagram pohon yang menghubungkan warna baju, warana rok pendek,dan warna sepatu.b. Berapa banyak pasangan warna seragam yang dapat disusun ?2. Suatu apartemen terdiri dari empat lantai, masing-masing lantai berturut-turut dihuni 12orang, 8 orang, 6 orang, dan 5 orang. Dari setiap lantai akan dipilih seorang wakil untukdibentuk sebagai pengurus apartemen. Berapa cara susunan pengurus dapat dibentuk?3. Perjalanan dari Jakarta ke Bandung dapat melalui 4 jalur, dari Bandung ke Yogyakartadapat melalui 2 jalur, dan dari Yogyakarta ke Surabaya melalui 3 jalur. Berapa banyakjalur perjalanan yang dapat dipilih dari perjalanan-perjalanan berikut ini.a. Dari Jakarta ke Yogyakarta melalui Bandung.b. Dari Surabaya ke Jakarta melalui Yogyakarta.c. Dari Jakarta ke Surabaya melalui Bandung dan Yogyakarta.4.BahasaDiberikan 11 huruf masing-masing H, I, D, U, P, C, E, R, D, A, dan S. Berapa banyak caramenyusun huruf itu, apabila disyaratkan:a. huruf pertamanya huruf vokal?b. huruf pertamanya huruf konsonan?5. Dari lima buah angka, 0, 1, 2, 3, dan 4, akan disusun bilangan-bilangan yang terdiri dari 4angka. Berapa banyak cara untuk menyusun bilangan-bilangan itu, apabila:a. bilangan-bilangan boleh mempunyai angka yang sama?b. bilangan-bilangan tidak boleh mempunyai angka yang sama?6. Dari empat buah angka, 1, 2, 3, dan 4, akan disusun bilangan-bilangan yang terdiri dari 3angka dengan tidak ada angka yang sama. Berapa banyak bilangan-bilangan yang dapatdisusun yang lebih dari 312, apabila:a. bilangan-bilangan boleh mempunyai angka yang sama?b. bilangan-bilangan tidak boleh mempunyai angka yang sama?Permutasi1. Hitunglah:a. 8! 3! dan (8 3)!b.6! 3!× dan (6 3)!×c. Apakah 8! 3! dan (8 3)! sama, dan 6! 3!× dan (6 3)!× sama?2. Tunjukkan bahwa:a.11112! 4! 4!−=b.10 54! 5! 4!3=+c.321438! 7! 6! 8!−+=3. Buktikan bahwa untuk 1n≥ berlaku ! ( 1)! ( 1)!( 1)nn n n−− =− −.4. Tentukan nilai-nilai permutasi berikut.a. 53Pb. 125Pc. 723!P

83BAB II ~ Peluang5. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka yang dibentuk dari angka-angka berikutini.a. 1, 2, dan 3b. 0, 2, 4, dan 6c. 2, 5, 6, 7, 8, dan 9 6.BahasaBerapa banyak susunan huruf yang terdiri dari:a. 2 huruf yang diambil dari C, E, R, M, A, dan Tb. 3 huruf yang diambil dari A, N, G, K, U, dan Hc. 4 huruf yang diambil dari P, L, A, T, I, N, U, dan M 7. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara.Berapa banyak susunan yang dapat dipilih? 8.BahasaBerapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut ini secaraberdampingan.a.R, U, K, U, dan Nb.K, E, R, J, A, S, A, M, dan Ac.S, T, A, T, I, S, T, I, dan K 9. Dalam kotak ada 5 balon yang dapat diambil satu per satu secara berurutan (tanpapengembalian). Berapa banyak pasangan warna yang dapat terjadi, apabila yang terambil:a. 2 balon merah dan 3 balon putih?b. 2 balon merah, 2 balon pink, dan 1 balon putih?c. 1 balon merah, 1 balon pink, dan 3 balon putih?10. Hitunglah banyak permutasi siklis, jika unsur-unsur yang tersedia adalah:a. 5 unsur yang berlainanb. 8 unsur yang berlainan11. Sebuah gelang memiliki 6 buah permata berlian dengan bentuk yang berbeda-beda. Keenampermata berlian itu ditempatkan pada keliling gelang. Berapa banyak susunan permataberlian yang terjadi?12. Dari angka-angka berikut ini akan dibentuk bilangan-bilangan yang terdiri atas 3 angkadengan angka-angka boleh berulang. Berapa banyak susunan bilangan yang dapatdibentuk?a. 4, 5, dan 6b. 4, 5, 6, dan 7c. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 713.BahasaHitunglah banyak susunan huruf (boleh berulang), jika diketahui:a. 3 huruf diambil dari huruf H, E, M, A, dan Tb. 4 huruf diambil dari huruf A, D, I, dan Lc. 5 huruf diambil dari huruf C, E, R, M, A, dan TKombinasi1. Hitunglah nilai dari kombonasi-kombinasi berikut.a. 53Cb. 125Cc. 723!C2. Buktikan bahwa:a. 10 1037CC=b. 12 1048CC=c. nnknkCC−=

Matematika Kelas XI - IPS SMA843. Hitunglah nilai n pada persamaan berikut.a.143nnCC+=b.1324nnCC+=c.245nCn=+4. Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat yang terdiri dari 8 anggota. Hitunglahbanyak himpunan bagian dari A yang teridiri dari:a. 2 anggota b. 4 anggota c. 6 anggota5. Dalam suatu pertemuan terdapat 5 orang yang belum saling kenal. Apabila mereka inginberkenalan dengan saling berjabat tangan sekali, berapa banyak jabat tangan yang terjadi?6. Untuk mengelola warnet diperlukan 5 staf pengurus, sedangkan tersedia 9 calon. Berapabanyak susunan staf pengurus yang mungkin?7. Jumlah peserta ujian SIM kendaraan bermotor 50 orang. Dari 10 soal yang disediakan,setiap peserta hanya diminta mengerjakan 5 soal yang terdiri dari 2 soal nomor ganjil dan3 soal nomor genap. Ada berapa cara yang dapat ditempuh oleh setiap peserta, jika setiappeserta tidak ada satupun yang mempunyai jawaban yang sama?8. Tersedia 6 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan. Dibentuk regu P3K, dengan syarat saturegu terdiri dari 5 orang siswa yang sekurang-kurangnya beranggotakan 2 siswaperempuan. Berapa banyak cara pembentukan regu itu?9.IndustriSebuah pabrik tekstil akan membuat warna campuran yang terbentuk dari 3 warna dasar.Jika tersedia 6 warna dasar yang berlainan, berapa banyak warna campuran yang dapatdibuat?10.OlahragaDalam pelatnas bulu tangkis ada 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri. Berapabanyak pasangan ganda yang dapat dibentuk, untuk:a. ganda putra?b. ganda putri?c. ganda campuran?2.2 Ruang Sampel dan KejadianSebagaimana telah disebutkan pada bagian awal, bahwa teori peluang bermula daripermainan judi. Dalam pembahasannya sering juga menggunakan alat peraga judi,misalnya kartu, dadu, dan mata uang logam. Hal ini hanya untuk memperjelas konsepsemata, bukan bertujuan agar siswa pandai judi.Misalkan kita melemparkan sekeping mata uang logam atau sebuah dadu sisi enam.Kegiatan melempar itu (satu kali atau beberapa kali) disebut percobaan. Hasil percobaanmelempar sekeping mata uang logam adalah munculnya sisi gambar (G) atau munculnyasisi angka (A). Lihat Gambar 2.7. Gambar 2.7 Hasil Percobaan Melempar Sekeping Mata Uang LogamSumber: www.bi.go.id

85BAB II ~ PeluangHasil percobaan melempar sebuah dadu sisi enam adalah salah satu dari enam sisi,yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, terlihat pada Gambar 2.8.Gambar 2.8 Hasil Percobaan Melempar Sebuah Dadu Sisi EnamMeskipun dua contoh di atas tampaknya tidak serupa, tetapi sebenarnya pada setiappercobaan di atas memiliki 2 sifat dasar yang sama, yaitu:1. Setiap jenis percobaan memiliki beberapa kemungkinan hasil yang disebut kejadianatau peristiwa. Kejadian dibedakan menjadi dua, yaitu kejadian sederhana dankejadian majemuk.2. Secara pasti kita sangat sulit menentukan kemungkinan hasil apa yang akan terjadipada setiap percobaan, misalnya dalam pelemparan sekeping mata uang logam, makasulit bagi kita untuk menentukan secara pasti apakah dalam pelemparan tersebutakan keluar G atau A. Demikian pula pada percobaan pelemparan sebuah dadu sisienam.Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebutruang sampel atau ruang contoh, yang biasanya disimbolkan dengan S. Dalam percobaanpelemparan sekeping mata uang logam kita peroleh ruang sampel S = { G, A }, sedangkanpada percobaan pelemparan sebuah dadu sisi enam ruang sampelnya adalah S = { 1, 2, 3,4, 5, 6 }. Anggota-anggota ruang sampel disebut titik sampel atau titik contoh. Ruangsampel pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam mempunyai 2 titiksampel, yaitu G dan A. Sedangkan pada percobaan pelemparan sebuah dadu sisi enammempunyai titik sampel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.1.1.1 Kejadian SederhanaKejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titiksampel. Pada hasil percobaan pelemparan sekeping mata uang logam, kejadian-kejadian sederhana adalah:-{G} yaitu kejadian muncul sisi gambar,-{A} yaitu kejadian muncul sisi angka.Sedangkan pada hasil percobaan pelemparan sebuah dadu sisi enam, kejadian-kejadian adalah:- {1} yaitu kejadian muncul mata dadu 1,- {2} yaitu kejadian muncul mata dadu 2,- {3} yaitu kejadian muncul mata dadu 3,- {4} yaitu kejadian muncul mata dadu 4,- {5} yaitu kejadian muncul mata dadu 5,- {6} yaitu kejadian muncul mata dadu 6.Contoh 1.2.1Tentukan ruang sampel dari percobaan sekali pelemparan 2 keping mata uanglogam.Penyelesaian:Dengan membuat daftar hasil percobaan pelemparan 2 keping mata uang logam.

Matematika Kelas XI - IPS SMA86Tabel 2.1 Hasil percobaan pelemparan 2 mata uang logamKita peroleh ruang sampelnya adalah S = {(A,A), (G,A), (A,G), (A,A)}.W2.2.2 Kejadian MajemukHasil dari melempar sebuah dadu sisi enam tidak harus selalu merupakankejadian sederhana. Dimungkinkan kejadian-kejadian itu tersusun atas gabunganbeberapa kejadian sederhana. Dengan kata lain, kejadian-kejadian itu terdiri darilebih dari satu titik sampel, kejadian semacam ini disebut kejadian majemuk.Misalnya kejadian:- {1, 3, 5} yaitu kejadian munculnya mata dadu ganjil,- {2, 4, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu genap,- {4, 5, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu lebih dari 3,- {1, 3, 4, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu bukan 5 atau 2,- {1,6} yaitu kejadian munculnya mata dadu paling kecil dan paling besar.Dengan pengertian kejadian majemuk di atas, maka ruang sampel adalahkasus khusus kejadian majemuk. Lebih lanjut, jika kita buat analogi dengan konsephimpunan, maka kejadian sederhana merupakan himpunan dari kejadianmajemuk. Lebih luas lagi, kita dapat membuat padanan antara himpunan dankejadian, seperti pada Tabel 2.2.Tabel 2.2 Korespendensi antara himpunan dan kejadianTeori HimpunanKejadianHimpunan semestaAnggota himpunanHimpunan bagianHimpunan bagian yang hanyamempunyai 1 anggotaHimpunan bagian yang mempunyailebih dari 1 anggotaRuang sampel STitik sampelKejadianKejadian sederhanaKejadian majemukA(A, A)Mata Uang 2Mata Uang 1GAG(A, G)(G, A)(G, G)

87BAB II ~ Peluang1. Dalam suatu keluarga memiliki 3 orang anak, dua di antaranya adalah perempuan.Tentukan ruang sampelnya.2. Suatu keluarga dengan tiga orang anak, dapat mempunyai 3 anak lelaki, 2 anak lelaki dan1 anak perempuan, 1 anak lelaki dan 2 anak perempuan, atau 3 anak perempuan. Misalkanbahwa (LLL) menotasikan keluarga dengan tiga anak lelaki, (LPP) keluarga dengan anakpertama lelaki dan kedua anak lainnya perempuan, dan (PLP) keluarga dengan anakperempuan sebagai anak pertama dan ketiga dan anak lelaki sebagai anak kedua.a. Tulislah ruang sampel susunan tiga bersaudara yang mungkin ditemukan.b. Apa yang dimaksudkan dengan kejadian bahwa suatu keluarga mempunyai 2 anakperempuan dan 1 anak lelaki?c. Bagaimana mencatat kejadian bahwa suatu keluarga dengan tiga anak mempunyaisekurang-kurangnya seorang anak lelaki?3. Dua buah dadu sisi enam dilempar bersama. Tentukan ruang sampelnya. Jika A adalahkejadian keluar jumlah mata dadu 9, B adalah kejadian keluar mata dadu pertama tidaklebih dari mata dadu kedua, dan C adalah kejadian keluar perkalian mata dadu adalahbilangan kuadrat, tulislah A, B, dan C sebagai notasi himpunan.4. Misalkan tiga buah dadu sisi enam dilempar sekaligus, berapa jumlah anggota ruangsampelnya? Misalkan A adalah kejadian keluar mata dadu berjumlah 7, tentukan A, dantersusun atas berapa kejadian sederhana kejadian A?5. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu sisi enam dilemparkan secara bersamaan.Hasil yang mungkin muncul pada percobaan ini dapat ditulis dalam bentuk pasanganberurutan. Misalnya:-(A, 5) adalah kejadian munculnya sisi angka untuk mata uang logam dan mata dadu 5.- (G, 3) adalah kejadian munculnya sisi gambar untuk mata uang logam dan mata dadu3, ... dan seterusnya.a. Berapa banyak titik sampel pada percobaan itu? Tulislah ruang sampelnya.b. Tulislah kejadian-kejadian berikut ini dengan notasi himpunan.- Kejadian munculnya sisi angka untuk mata uang dan sembarang angka untukdadu.- Kejadian munculnya sembarang sisi untuk mata uang dan angka prima untukdadu.- Kejadian munculnya sisi gambar untuk mata uang dan angka komposit untukdadu.2.3 Peluang Suatu KejadianPada aktivitas sehari-hari kita sering melihat kejadian-kejadian yang mengandungmakna kemungkinan, sebagai contoh, Berapa besar kemungkinan terbentuk TimOlimpiade Matematika dengan susunan tertentu?. Berapa besar kemungkinan adalahsuatu contoh tentang kejadian yang belum tentu akan terjadi. Anto bersin-bersinkemungkinannya terserang flu. Terserangnya flu juga contoh tentang kejadian yang belumtentu akan terjadi.Kata-kata kemungkinan dan peluang juga banyak kita jumpai dalam permainan,misalnya percobaan pelemparan sekeping mata uang logam, percobaan pelemparan dadusisi enam, dan percobaan pemgambilan satu kartu dari tumpukan kartu remi (bridge).Dalam matematika, teori yang mempelajari cara-cara perhitungan derajat keyakinanseseorang untuk menentukan terjadi atau tidak terjadinya suatu kejadian dipelajari dalamilmu hitung peluang (theory of probability).Latihan 2.2

Matematika Kelas XI - IPS SMA88Terdapat beberapa pendekatan untuk menghitung peluang kejadian antaralain dengan pendekatan frekuensi nisbi atau relatif, pendekatan definisi peluang klasik,dan pendekatan dengan menggunakan ruang sampel. Dua pendekatan pertama telahkita pelajari bersama ketika SMP dulu. Oleh karena itu dalam buku ini akan kitapelajari pendekatan dengan menggunakan ruang sampel. Akan tetapi pendekatanyang terakhir ini sebenarnya tidak terpisahkan dengan pendekatan definisi klasik.Oleh karena itu tidak ada jeleknya kita ingat kembali pengertian ini dan beberapacontoh terkait.Pendekatan Definisi Peluang KlasikKita kembali pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam, bahwakejadian munculnya sisi angka dan sisi gambar mempunyai kesempatan yang sama.Karena mata uang logam hanya mempunyai 2 sisi, yaitu sisi angka dan sisi gambar,maka kita tuliskan dengan:12() ()PA PG==Demikian pula pada percobaan pelemparan sebuah dadu sisi enam, bahwakejadian munculnya setiap mata dadu mempunyai kesempatan yang sama, dan kitatuliskan dengan:16(1)(2)(3)(4)(5)(6)PPPPPP======Bertolak dari pengertian kesempatan yang sama pada dua percobaan di atas,kita mendefinisikan peluang klasik berikut ini.Definisi: Peluang KlasikMisalkan dalam suatu percobaan mengakibatkan munculnya n hasilyang mungkin dengan masing-masing hasil mempunyai kesempatanyang sama. Jika kejadian E dapat muncul sebanyak k kali (kn≤), makapeluang kejadian E diberikan oleh:()kPEn= (2.8)Sebagai akibat definisi ini, maka peluang kejadian munculnya sisi angka danpeluang munculnya kejadian sisi gambar masing-masing adalah:12()PA= dan 12()PG=Dengan alasan yang sama, maka peluang kejadian munculnya setiap matadadu adalah sama, yaitu 16.Contoh 2.3.1Pada percobaan melempar sebuah dadu sisi enam, hitunglah nilai peluangkejadian-kejadian berikut.a. Kejadian munculnya mata dadu dengan angka kurang dari 3.b. Kejadian munculnya mata dadu mata ganjil.c. Kejadian munculnya mata dadu 2 atau 5.

89BAB II ~ PeluangPenyelesaian:Pada percobaan melempar dadu sisi enam ada 6 hasil yang mungkin muncul,yaitu mata dadu dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, dan masing-masing hasil itumempunyai kesempatan sama. Dengan demikian, n = 6.a. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu dengan angka kurang dari3. Angka-angka itu adalah 1 dan 2, sehingga k = 2.Jadi, peluang kejadian A adalah 2163()knPA===.b. Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu dengan angka ganjil. Angka-angka itu adalah 1, 3, dan 5, sehingga k = 3.Jadi, peluang kejadian B adalah 3162()knPB===.c. Misalkan C adalah kejadian munculnya mata dadu 2 atau 5, sehingga k = 2.Jadi, peluang kejadian C adalah 2163()knPC===.WContoh 2.3.2Dalam sebuah kotak berisi 9 kelereng putih dan 6 kelereng hitam. Jika dari kotakdiambil sebuah kelereng secara acak, berapa nilai peluang yang terambil itu:a. sebuah kelereng putih,b. sebuah kelereng hitam.Penyelesaian:Dalam kotak seluruhnya terdapat 9 + 6 = 15 buah kelereng, sehingga n = 15.a. Kelereng putih ada 9, sehingga k = 9. Jadi, peluang yang terambil itu kelerengputih adalah:915(1 kelereng putih) 0,6P==b. Kelereng hitam ada 6, sehingga k = 6. Jadi, peluang yang terambil itu kelerenghitam adalah:615(1 kelereng hitam) 0,4P==WContoh 2.3.3Dalam sebuah kotak berisi 6 bola berwarna merah dan 4 bola berwarna biru. Darikotak itu diambil 3 buah bola secara acak. Berapa peluang kejadian munculnya,jika yang terambil itu:a. semuanya merah?c. 2 bola merah dan 1 bola biru?b. semuanya biru?d. 1 bola merah dan 2 bola biru?Penyelesaian:Kita akan memanfaatkan aturan kombinasi untuk menyelesaikan masalah ini. Dari10 bola diambil 3 buah bola, seluruhnya ada:10310! 10!1203!(10 3)! 3!7!nC=== =− cara

Matematika Kelas XI - IPS SMA90a. 3 bola merah diambil dari 6 bola merah, seluruhnya ada:636! 10!203!(6 3)! 3!3!kC=== =− caraJadi, peluang yang terambil ketiga-tiganya bola merah adalah:20 1120 6(3 bola merah)P==b. 3 bola biru diambil dari 4 bola biru, seluruhnya ada:434! 4!43!(4 3)! 3!1!kC=== =− caraJadi, peluang yang terambil ketiga-tiganya bola biru adalah:41120 30(3 bola biru)P==c. 2 bola merah dan 1 biru, seluruhnya ada:64216! 4!1 54 602!4! 1!3!kC C== =×=×× caraJadi, peluang yang terambil 2 bola merah dan 1 biru adalah:60 1120 2(2 bola merah dan 1 bola biru)P==d. 1 bola merah dan 2 biru, seluruhnya ada:64126! 4!66361!5! 2!2!kC C== =×=×× caraJadi, peluang yang terambil 1 bola merah dan 2 biru adalah:36 3120 10(1 bola merah dan 2 bola biru)P==WKita kembali masalah penentuan anggota tim lomba renang pada awal bab,yang banyak susunan tim yang mungkin terjadi telah dijelaskan pada Contoh2.1.15.Contoh 2.3.4Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim lomba renang dari suatuSMA. Dari sejumlah siswa itu, 6 siswa pandai gaya bebas dan 4 siswa pandai gayakupu-kupu. Tim yang dibentuk beranggotakan 3 siswa, yang terdiri dari 2 siswapandai gaya bebas dan 1 siswa pandai gaya kupu-kupu. Berapa peluang untukmemperoleh susunan tim seperti ini?Penyelesaian:Dengan aturan kombinasi, dari 10 siswa dipilih 3 siswa, hasil yang mungkinseluruhnya ada:10310! 10!1203!(10 3)! 3!7!nC=== =− caraDari Contoh 2.1.15, susunan tim yang mungkin yang terdiri dari 2 siswa pandaigaya bebas dan 1 siswa pandai gaya kupu-kupu adalah sebanyak 60 cara.

91BAB II ~ PeluangJadi, peluang untuk memperoleh tim renang yang terdiri dari 2 siswa pandaigaya bebas dan 1 siswa pandai gaya kupu-kupu adalah:(2 siswa gaya bebas dan 1 siswa gaya kupu-kupu) 60 120 1 2P==.WPendekatan dengan Menggunakan Ruang SampelPendekatan peluang yang ditentukan dengan pendekatan definisi peluangklasik yang rumusnya diberikan oleh persamaan (2.8) dapat pula ditentukandengan menggunakan pengertian ruang sampel.Definisi: Peluang dengan Menggunakan Ruang SampelMisalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan yang setiap anggota dariS mempunyai kesempatan sama untuk muncul. Jika E adalah suatu kejadiandengan ES⊆, maka peluang kejadian E diberikan oleh:()()()nEPEnS= (2.9)dengan: ()n Eadalah cacah anggota dalam himpunan kejadian E()nS adalah cacah anggota dalam himpunan ruang sampel SDengan rumus pada persamaan (2.9) ini kita dapat menentukan kisaranbesarnya peluang suatu kejadian. Kita ingat kembali dari teori himpunan bahwahimpunan kosong ()∅ adalah himpunan bagian dari setiap himpunan. Olehkarena itu kita mempunyai hubungan:ES∅⊆ ⊆Akibatnya, karena ()0n∅=, maka:0()()()nnEnS=∅≤ ≤Jika ketaksamaan terakhir ini kita bagi dengan ()nS, maka:0()()() () ()nE nSnS nS nS≤≤ atau 0()1PE≤≤Dari hasil ini, kita dapat menyimpulkan bahwa kisaran peluang kejadian Emempunyai batas dari 0 sampai dengan 1. Dalam hal () 0PE= kita sebut kejadianE sebagai kejadian yang mustahil terjadi, sedangkan dalam hal () 1PE= kitasebut kejadian E sebagai kejadian yang pasti terjadi.Misalkan ditanyakan berapa peluang kejadian munculnya mata dadu 7 darihasil pelemparan sebuah dadu sisi enam. Berapa kalipun dadu dilempar, matadadu 7 tidak akan pernah muncul. Kejadian ini adalah contoh kejadian yangmustahil terjadi. Tentu semua kejadian munculnya mata dadu yang lebih besardari 6, yaitu cS = {7, 8, 9, } adalah kejadian yang mustahil terjadi. Secara umum,untuk sembarang ruang sampel S yang pasti muncul sebagai dilakukannya suatupercobaan, maka cS adalah kejadian yang mustahil terjadi. Dalam hal ini jelasbahwa:() 1PS= dan ()0cPS=

Matematika Kelas XI - IPS SMA92Contoh 2.3.5Tiga keping mata uang logam dilemparkan secara bersamaan. Hitunglah nilaipeluang kejadian-kejadian berikut.a. Kejadian munculnya tiga sisi gambar.b. Kejadian munculnya dua sisi gambar dan satu sisi angka.Penyelesaian:Ruang sampel dari percobaan melemparkan tiga keping mata uang logam secarabersamaan adalah:{}(),(),(),(),(),(),(),()S AAA AAG AGA AGG GAA GAG GGA GGG=sehingga () 8nS=.a. Misalkan E adalah kejadian munculnya tiga sisi gambar, maka {( )}E GGG=dan () 1nE=.Jadi, menurut rumus (2.9) peluang kejadian munculnya tiga sisi gambar adalah:() 1()() 8nEPEnS==b. Misalkan F adalah kejadian munculnya dua sisi gambar dan satu sisi angka,maka:{}(),(),()F AGG GAG GGA= dengan () 3nF=Jadi, peluang kejadian munculnya tiga sisi gambar dan satu sisi angka adalah:()()() 83nFPFnS==WContoh 2.3.6Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali secara bersamaan. Hitunglah nilaipeluang kejadian-kejadian berikut.a. Kejadian munculnya mata dadu pertama 5.b. Kejadian munculnya mata dadu pertama dan mata dadu kedua adalah bilanganprima.c. Kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu adalah 8.Penyelesaian:Ruang sampel percobaan melempar dua buah dadu sisi enam secara bersama-sama adalah himpunan S yang anggotanya adalah semua pasangan berurutanpada Tabel 2.3.Tabel 2.3 Ruang sampel percobaan pelemparan dua dadu sisi enamDadu Pertama156234Dadu Kedua234165(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(3,6)(3,5)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,6)(6,5)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)(5,6)(5,5)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)(4,6)(4,5)

93BAB II ~ PeluangCacah anggota S,() 66 36nS=×=.a. Misalnya 1E adalah kejadian munculnya mata dadu pertama 5, maka:{}1(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)E= sehingga 1(6)nE=.Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu pertama 5 adalah:11() 6 1()() 36 6nEPEnS===b. Misalnya 2E adalah kejadian munculnya mata dadu pertama dan mata dadukedua adalah bilangan prima, maka:{}2(2,2),(2,3),(2,5),(3,2),(3,3),(3,5),(5,2),(5,3),(5,5)E= sehingga 2(9)nE=.Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu pertama dan mata dadu keduabilangan prima adalah:22() 9 1()() 36 4nEPEnS===c. Misalnya 3E adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu adalah 8,maka:{}3(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)E= sehingga 3(5)nE=.Jadi, peluang kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu adalah 8 adalah33() 5()() 36nEPEnS==W2.3.1 Frekuensi Harapan Suatu KejadianKita masih ingat bahwa jika sekeping mata uang logam dilemparkan sekali,maka peluang kejadian munculnya sisi angka dan sisi gambar adalah sama, yaitu:12() ()PA PG==Jika uang logam di atas kita lemparkan 20 kali, maka diharapkan munculnyasisi angka = 1220 10×= dan munculnya sisi gambar = 1220 10×=.Meskipun pada praktiknya harapan dan kenyataan belum tentu sama.Bilangan 10 yang menyatakan harapan banyak kejadian munculnya sisi angkadisebut frekuensi harapan kejadian munculnya sisi angka pada percobaanmelempar sekeping uang logam sebanyak 20 kali. Bilangan 10 yang keduamenyatakan harapan banyak kejadian munculnya sisi gambar disebut frekuensiharapan kejadian munculnya sisi gambar pada percobaan melempar sekepinguang logam sebanyak 20 kali. Dengan demikian, frekuensi harapan adalah banyakkejadian yang diharapkan dapat terjadi pada sebuah percobaan. Penjelasan di atasjuga menyarankan bagaimana cara menghitung besarnya frekuensi harapan darisuatu kejadian.Misalkan sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali dan P(E) adalahpeluang kejadian E. Besarnya frekuensi harapan kejadian E adalah:() ()hFE nPE=× (2.10)

Matematika Kelas XI - IPS SMA94Contoh 2.3.7Proyek penghijauan pada sebuah perkebunan setiap batang bibit tanamanmempunyai peluang hidup sama 0,9. Jika pada perkebunan itu ditanam sebanyak1.000 batang bibit tanaman, berapa banyak bibit tanaman yang diharapkan hidup.Penyelesaian:Banyak bibit tanaman adalah n = 1.000. Misalkan E adalah kejadian batang bibittanaman hidup, maka P(E) = 0,9. Jadi, banyak bibit tanaman yang diharapkanhidup adalah:() () 10000,9 900hFE nPE=× = × = batangW2.3.2 Peluang Komplemen Suatu KejadianUntuk memahami pengertian komplemen suatu kejadian, kita perhatikankembali percobaan pelemparan sebuah dadu sisi enam dengan ruang sampel{1,2,3,4,5,6}S=. Misalkan E adalah kejadian munculnya mata dadu 3 atau 4,yaitu E = {3,4 }. Misalkan cE adalah kejadian munculnya mata dadu bukan 3 dan4, yaitu {1,2,5,6}cE=, maka cE disebut komplemen kejadian dari E, dengan notasihimpunan hubungan E, cE, dan S dapat ditunjukkan dengan diagram Vennberikut ini. Gambar 2.9Diagran Venn Hubungan E, cE, dan SDalam hal ini ()2nE=, ()4cnE=, dan () 6nS=, sehingga berlaku hubungan:() ( ) ()cnE nE nS+=Jika kedua ruas kita bagi dengan ()nS, maka diperoleh:() ( )1() ()cnE nEnS nS+=Dengan pengertian rumus (2.9): ()()()nEPEnS= dan ()()()ccnEPEnS=, maka:() ( )1cPE PE+=⇔()1 ()cPEPE=−Secara umum rumus ini benar untuk sembarang kejadian.Jika cE adalah komplemen kejadian E, maka peluang kejadian cE adalah:()1 ()cPEPE=− (2.11)dengan P(E) adalah peluang kejadian E, dan ()cPE adalah peluang kejadiancE.6134EEc25S

95BAB II ~ PeluangContoh 2.3.8Berdasarkan laporan dari PLN bahwa pada Desa Sejuk Hati dalam sebulan ada25 hari listrik tidak padam. Berapa peluang kejadian listrik padam dalam sebulan?Penyelesaian:Misalkan Eadalah kejadian listrik tidak padam dalam kurun waktu sebulan, maka2 5 5()30 6PE==. Komplemen kejadian E adalah cE, yaitu kejadian listrik padamdalam kurun waktu sebulan. Oleh karena itu berlaku hubungan:51()1 ()166cPEPE=− =− =Jadi, peluang kejadian listrik padam dalam kurun waktu sebulan adalah 16.WContoh 2.3.9Dalam suatu kotak berisi 6 bola kecil merah dan 4 bola kecil kuning. Dari kotakitu diambil dua buah bola secara acak. Berapakah peluang kejadian yang terambilkedua-duanya bukan bola merah?Penyelesaian:Misalkan Eadalah kejadian terambilnya dua bola merah, maka:66!2!4!21010!2!8!26 51()10 9 3CPEC×=== =×Misalkan cE adalah kejadian yang terambil kedua-duanya bukan bola merah,maka cE adalah komplemen kejadian dari E. Dengan demikian,12()1 ()133cPEPE=− =− =Jadi, peluang kejadian yang terambil kedua-duanya bukan bola merah adalah()23cPE=.W1. Di dalam sebuah kantong berisi 10 bola kecil merah dan 30 bola kecil hijau. Jika diambilsecara acak, berapakah peluang kejadian sebuah bola merah terambil?2. Di dalam kantong ada 4 kelereng merah (M), 4 kelereng kuning (K), dan 4 kelereng hijau(H). Dipilih secara acak sebuah kelereng. Tentukan ruang sampel dari percobaan itu.Apakah setiap kejadian sederhana dapat muncul dengan kesempatan yang sama? TentukanP(M), P(K), P(H), dan P(cM).3. Jika ke dalam kantong pada soal 2 ditambahkan sebuah kelereng merah, tentukan ruangsampel percobaan memilih secara acak sebuah kelereng. Apakah setiap kejadian sederhanadapat muncul dengan kesempatan yang sama? Tentukan P(M), P(K), P(H), dan P(cM).Latihan 2.3

Matematika Kelas XI - IPS SMA96 4.BahasaDari huruf A, B , dan C dibentuk susunan huruf dengan huruf-huruf boleh berulang. Darisusunan yang diperoleh itu diambil sebuah susunan. Hitunglah peluang kejadian yangterambil itu:a. sebuah susunan dengan huruf-huruf yang berbedab. sebuah susunan dengan huruf-huruf yang sama 5.PeternakanDalam sebuah kolam terdapat 10 ekor ikan emas dan 5 ekor ikan gurame. Dari kolam ituakan dipancing 4 ikan. Berapa nilai peluang jika yang terpancing adalah:a. keempat-empatnya ikan emas?b. 1 ekor ikan emas 3 dan ekor ikan gurame?c. 2 ekor ikan emas dan 2 ekor ikan gurame? 6. Dua buah dadu sisi enam dilempar sekali secara serempak. Berapa peluang:a. kejadian munculnya mata dadu kedua angka 6?b. kejadian munculnya mata dadu pertama sama dengan mata dadu kedua?c. kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu paling sedikit 8?d. kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu habis dibagi 3?e. kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu tidak habis dibagi 3? 7. Dua buah dadu sisi enam dilempar sebanyak 120 kali. Hitunglah frekuensi harapankejadian-kejadian berikut.a. Kejadian munculnya mata dadu pertama 4.b. Kejadian munculnya mata dadu kedua angka genap.c. Kejadian munculnya mata dadu pertama sama dengan mata dadu kedua.d. Kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 8.e. Kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu bilangan ganjil. 8.IndustriSuatu perusahaan komponen elektronik memproduksi 5.000 buah transistor. Jika setiaptransistor mempunyai peluang hidup 0,95, berapa banyak transistor yang diharapkanhidup?9. Sebagai pemain sirkus pemula, Yayan berlatih naik sepeda roda satu. Jika peluang jatuhadalah 0,64,a. berapa peluang Yayan tidak jatuh?b. berapa kali latihan itu yang diharapkan tidak jatuh, jika latihan dilaksanakan 60 kali?10. Sebuah bola dimabil dari kotak yang berisi 10 bola merah, 4 bola kuning, dan 6 bola hijau.Hitunglah peluang kejadian yang terambil itu adalah:a. bola merah,b. bola kuning,c. bukan bola merah,d. bukan bola hijau.11.ManagemenPanitia pertunjukkan panggung terbuka mengundang 10 orang penyanyi yang terdiri dari7 penyanyi wanita dan 3 penyanyi pria. Berhubung keterbatasan waktu, hanya akanditampilkan 5 orang penyanyi dan masing-masing penyanyi mempunyai hak yang samauntuk tampil. Berapa peluang tampilnya 5 orang penyanyi itu, jika disyaratkan bahwa:a. sekurang-kurangnya 2 penyanyi wanita?b. sekurang-kurangnya 2 penyanyi pria?c. paling banyak 2 penyanyi wanita?d. paling banyak 2 penyanyi pria?

97BAB II ~ Peluang2.4 Peluang Kejadian MajemukKita perhatikan kembali ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } dari hasil percobaanpelemparan sebuah dadu sisi enam. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata daduganjil, ditulis A = {1, 3, 5 }, dan B adalah kejadian munculnya mata dadu prima, ditulis{2, 3, 5}B=. Dari kedua kejadian tersebut kita dapat memperoleh dua kejadian, yaitu:- Kejadian munculnya mata dadu angka ganjil atau mata dadu angka prima, yangdengan notasi himpunan dapat kita tuliskan sebagai:{1,2, 3, 5}AB∪=- Kejadian munculnya mata dadu angka ganjil dan mata dadu angka prima, yangdengan notasi himpunan dapat kita tuliskan sebagai:{3, 5}AB∩=Ilustrasi dari kedua kejadian itu dapat kita perhatikan pada diagram Vennberikut ini.(a)AB∪(b)ABGambar 2.10Kejadikan Gabungan dan Irisan2.4.1 Peluang Gabungan Dua KejadianDengan menggunakan sifat-sifat gabungan dua himpunan, kita dapatmenghitung peluang gabungan dua kejadian. Kita ingat kembali bahwa banyakanggota dari himpunan AB∪ adalah:()()()()nA B nA nB nA B∪= + − ∩Jika kedua ruas kita bagi dengan ()nS, dengan ()nS adalah banyak anggota dalamruang sampel S, maka kita peroleh:()()()()() () () ()nA B nA nB nA BnSnS nSnS∪∩=+−Menurut definisi peluang menggunakan ruang sampel persamaan (2.9), maka:()()()()PA B PA PB PA B∪= + − ∩Hasil berlaku untuk umum untuk sembarang kejadian di dalam ruang sampel S.Aturan PenjumlahanJika A dan B adalah sembarang dua kejadian di dalam ruang sampel S, makapeluang kejadian AB∪ adalah:()() () ()PA B PA PB PA B∪= + − ∩ 2.12)425316ABS4216ABS35

Matematika Kelas XI - IPS SMA98Contoh 2.4.1Sebuah dadu sisi enam dilemparkan sekali, berapakah peluang kejadianmunculnya mata dadu angka genap atau angka yang habis dibagi 3?Penyelesaian:Ruang sampel, S = {1,2,3,4,5,6} dengan () 6nS=. Misal A kejadian munculnya matadadu angka genap, dan B kejadian munculnya mata dadu angka yang habis dibagi3, maka:A = {2,4,6}, B = {3,6}, dan {6}AB∩=dengan ()3nA=, () 2nB=, dan ()1nA B∩=. Dalam hal ini,31()62PA==, 21()63PB==, dan 1()6PA B∩=Dengan rumus persamaan (2.12), kita peroleh:()()()() =1 2 1 3 1 6 2 3.PA B PA PB PA B∪= + − ∩+−=Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap atau angka yang habisdibagi 3 adalah 23.WContoh 2.4.2Dalam satu set kartu bridge ada 52 kartu, terdiri atas 13 kartu sekop (♠) berwarnahitam, 13 kartu cengkeh (♣) berwarna hitam, 13 kartu hati (♥) berwarna merah,dan 13 kartu berlian (♦) berwarna merah. Setiap jenis terdiri atas kartu bernomor2, 3, 4, ..., 10, Jack (J), Ratu (Q), Raja (K), dan As (A). Jika diambil satu kartu darisatu set kartu bridge, berapakah peluang kejadian yang terambil satu kartuberwarna hitam atau satu kartu K?Penyelesaian:Jumlah kartu yang berwarna hitam ada 26 buah, yaitu dari sekop dan cengkeh.Misalkan A kejadian munculnya kartu hitam, maka: P(A) = 26 1522=Misalkan B adalah kejadian munculnya kartu K. Karena terdapat 4 kartu K, maka: P(B) = 415213=Tetapi dari 4 kartu K terdapat 2 kartu K yang hitam, yaitu dari sekop dan cengkeh,sehingga:21()5226PA B∩= =Oleh karena itu, peluang terambil 1 kartu hitam atau 1 kartu K adalah:()()()()12 113 126 713.PA B PA PB PA B∪= + − ∩=+ − =Jadi, peluang kejadian yang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu Kadalah 713.W

99BAB II ~ PeluangContoh 2.4.3Seorang siswa mempunyai peluang lulus ujian Matematika dan Bahasa Inggrismasing-masing adalah 2/3 dan 4/9. Jika peluang siswa tersebut lulus paling sedikitsatu mata pelajaran adalah 4/5, berapakah peluang bahwa dia akan lulus di keduamata pelajaran di atas.Penyelesaian:Misalkan A adalah kejadian lulus ujian Matematika, dan B kejadian lulus ujianBahasa Inggris. Dari yang diketahui, maka P(A) = 2/3, P(B) = 4/9, dan ()PA B∪= 4/5. Jadi,()()()()2/3 4/9 4/ 514/4 5PA B PA PB PA B∩= + − ∪=+−=Jadi, peluang siswa akan lulus di kedua mata pelajaran adalah 14 45.W2.4.2 Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling LepasMisalkan pada percobaan melempar sekali dadu sisi enam terjadi duakejadian, yaitu:- Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil, yaitu A = { 1, 3, 5 }.- Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu genap, yaitu B = { 2, 4, 6}.Mudah kita pahami bahwa AB∩=∅, dalam kondisi seperti ini kita katakanbahwa kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang lepas. Diagram Venndari dua kejadian ini diperlihatkan oleh Gambar 2.11.Gambar 2.11Dua Kejadian Saling LepasKarena AB∩=∅, maka ()0PA B∩=. Oleh karena itu, jika hasil ini kitasubstitusikan ke dalam rumus persamaan (2.12), kita peroleh:()()()0PA B PA PB∪= + − atau ()()()PA B PA PB∪= +Hal ini berlaku secara umum untuk sembarang dua kejadian saling lepas.Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas dalam ruang sampel S, makapeluang kejadian AB∪ adalah:()()()PA B PA PB∪= + (2.13)315624ABS

Matematika Kelas XI - IPS SMA100Contoh 2.4.4Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Berapakah peluangkejadian yang terambil adalah kartu sekop atau kartu berwarna merah?Penyelesaian:Misalkan A adalah kejadian yang terambil kartu sekop, maka () 13nA=, P(A) = 13 1524=Jumlah kartu yang berwarna merah ada 26 buah, yaitu hati dan berlian. MisalkanB kejadian munculnya kartu hitam, maka: P(B) = 26 1522=Karena A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas, maka menurut (2.13):()()()14 12 34.PA B PA PB∪= +=+=Jadi, peluang kejadian terambil kartu sekop atau kartu berwarna merahadalah 34.W2.4.3 Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling BebasDua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali secara serentak. Misalkan:- Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, yaitu:A = {(3, 1), (3,2), (3,3),(3,4), (3,5), (3,6)}- Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 5, yaitu:B = {(1, 5), (2,5), (3,5),(4,5), (5,5), (6,5)}Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama tidak dipengaruhi olehkejadian munculnya angka 5 pada dadu kedua, dan sebaliknya. Dalam hal ini, Adan B dikatakan dua kejadian saling bebas. Secara umum,Kejadian A dan kejadian B dikatakatan dua kejadian saling bebas, jikakejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian Btidak dipengaruhi oleh kejadian A.Sebagai catatan : bedakan pengertian dua kejadian saling lepas dan dua kejadiansaling bebas.Kembali pada dua kejadian saling bebas, A dan B, pada pelemparan dua buahdadu sisi enam di atas. Hasil percobaan diberikan oleh Tabel 2.4.

101BAB II ~ PeluangTabel 2.4 Hasil percobaan pelemparan dua dadu sisi enamDari hasil percobaan itu tampak bahwa {(3,5)}AB∩=, lihat perpotongan kolomdan baris yang diwarnai. Lebih lanjut,() 36nS=, ()6nA=, ()6nB=, dan ()1nA B∩=sehingga:() 6 1()() 36 6nAPAnS===,() 6 1()() 36 6nBPBnS===, dan()1()() 36nA BPA BnS∩∩==.Tampak bahwa dari bilangan-bilangan ini terdapat hubungan:()()()PA B PA PB∩= ×Hasil ini berlaku umum untuk sembarang dua kejadian saling bebas. Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas, maka berlaku:()()()PA B PA PB∩= × (2.14) Sebaliknya, jika ()()()PA B PA PB∩≠ ×, maka kejadian A dan kejadian B tidak bebas.Contoh 2.4.5Dua buah dadu sisi enam dilempar secara serentak sekali. Kejadian Aadalahkejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama, sedangkan kejadian B adalahkejadian munculnya jumlah angka kedua dadu sama dengan 8. Periksa, apakahkejadian A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas?Penyelesaian:Ruang sampel dari percobaan ini tertuang pada Tabel 2.4, dengan n(S) = 36.Kejadian {}(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)A=, ()6nA=, dan() 6 1()() 36 6nAPAnS===Dadu Pertama156234Dadu Kedua234165(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(3,6)(3,5)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,6)(6,5)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)(5,6)(5,5)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)(4,6)(4,5)

Matematika Kelas XI - IPS SMA102Kejadian {}(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)B=, ()5nB=, dan () 5()() 36nBPBnS==.Kejadian {}(3,5)AB∩=, dengan ()1nA B∩=, dan()1()() 36nA BPA BnS∩∩==Dengan hasil perhitungan ini, kita peroleh:11536 6 36≠× atau ()()()PA B PA PB∩≠ ×Dari persamaan (2.14), kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang tidaksaling bebas.WContoh 2.4.6Misalkan A dan B adalah kejadian yang saling bebas, tetapi tidak saling lepas.Jika 12()PA= dan 34()PA B∪=, hitunglah peluang kejadian B.Penyelesaian:Karena kejadian Adan kejadian B saling bebas, maka berlaku:()()()PA B PA PB∩= ×Dari yang diketahui diperoleh:12()()PA B PB∩=Karena A dan B tidak lepas, maka berlaku hubungan:()()()()PA B PA PB PA B∪= + − ∩Substitusi 12()PA=, 34()PA B∪=, dan 12()()PA B PB∩=, diperoleh:31 1() ()42 2PB PB=+ −⇔1311()2424PB=−=⇔11() 242PB=× =Jadi, peluang kejadian B adalah ()12PA=.WContoh 2.4.7Seorang siswa mengambil 3 jenis kursus, yaitu kursus komputer, bahasa Inggris,dan bahasa Jepang. Peluang siswa tersebut untuk lulus komputer adalah 0,5; lulusbahasa Inggris adalah 0,6; dan lulus bahasa Jepang adalah 0,75. Hitunglah peluang:a. siswa lulus ketiga jenis kursusb. siswa lulus kursus komputer dan bahasa Inggrisc. siswa lulus sedikitnya 2 jenis kursus

103BAB II ~ PeluangPenyelesaian:Misalkan K, I, dan J masing-masing menyatakan kejadian siswa lulus komputer,lulus bahasa Inggris, dan lulus bahasa Jepang. Dengan demikian , kita peroleh:()0,5PK=, () 0,6PI=, dan () 0,75PJ=a. Siswa lulus 3 jenis kursus merupakan kejadian saling bebas untuk 3 kejadian.Dengan menerapkan rumus (2.14) untuk 3 kejadian, maka peluang siswa lulus3 jenis kursus adalah:()()()()PK I J PK PI PJ∩∩ =× ×0, 50,6 0,7 50,22 5=×× =b. Karena peluang siswa lulus bahasa Jepang adalah 0,75, maka peluang siswatidak lulus bahasa Jepang adalah ()10,750,25cPJ=− =. Dengan demikian,peluang siswa lulus komputer dan bahasa Inggris adalah:()()()()ccPK I J PK PI PJ∩∩ =× ×0, 50,6 0,2 50,07 5=×× =c. Misalkan ()cPK dan ()cPI masing-masing menyatakan peluang siswa tidaklulus komputer dan siswa tidak lulus bahasa Inggris, maka:()10,50,5cPK=− = dan ()10,60,4cPI=− =Peluang siswa untuk lulus 2 jenis kursus :()()()()ccPK I J PK PI PJ∩∩ =× ×0, 50,6 0,2 50,07 5=×× =()()()()ccPK I J PK PI PJ∩∩= × ×0, 50,4 0,7 50,1 5=×× =()()()()ccPK I J PK PI PJ∩∩ =× ×0, 50,6 0,7 50,22 5=×× =Jadi, peluang siswa lulus sedikitnya dua jenis kursus adalah:0,075 + 0,15 + 0,225 = 0,450W1. Dalam permainan satu set kartu bridge. Berapa peluang pengambilan satu kartu:a.A atau K?b. A atau berlian?2. Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali, hitunglah peluang kejadian akan muncul:a. jumlah mata dadu paling besar 4,b. jumlah mata dadu 5,c. jumlah mata dadu 7 atau lebih besar dari 7.3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola hijau. Berapakah peluang pengambilan duabola sekaligus bahwa bola terambil merah atau hijau?4. Suatu kelas terdiri dari 120 siswa, 60 siswa senang sepak bola, 50 siswa senang bola basket,dan 20 siswa senang keduanya. Jika seorang siswa dipilih dari kelas itu secara acak, berapapeluang:a. dia senang sepak bola atau basket,b. dia sama sekali tidak senang sepak bola ataupun basket.5. Seorang siswa memiliki peluang lulus pelajaran bahasa Indonesia sebesar 0,6, lulus bahasaInggris 0,4, dan lulus keduanya 0,24. Berapa peluang siswa itu lulus dalam bahasa Indonesiaatau bahasa Inggris?Latihan 2.4

Matematika Kelas XI - IPS SMA1046. Suatu kelas terdiri dari 20 siswa dan 40 siswi, dengan 10 siswa dan 20 siswi mempunyainilai ulangan bahasa Inggris lebih dari 80. Hitunglah peluang seseorang yang dipilih secaraacak adalah seorang siswa atau seseorang yang mempunyai nilai lebih dari 80.7. Dua buah dadu sisi enam dilempar secara serentak sebanyak satu kali. Hitunglah peluangkejadian munculnya jumlah mata dadu:a. 2 atau 8b. 5 atau 10c. 2 atau 3 atau 9d. bukan 10 atau 128. Hasil survei yang dilaksanakan di sebuah sekolah tentang hobi menghasilkan data sebagaiberikut. 10% siswa tidak hobi sepak bola; 65% siswa hobi sepak bola; dan 5% siswa tidakhobi sepak bola tetapi hobi bulu tangkis. Dari data ini dipilih secara acak satu orangsiswa. Berapa peluang siswa itu hobi sepak bola, tetapi tidak hobi bulu tangkis?9. Dalam kotak I terdapat 4 balon merah dan 3 balon putih, sedangkan pada kotak II terdapat7 balon merah dan 2 balon hitam. Dari masing-masing kotak diambil satu balon secaraacak. Hitunglah peluang yang terambil itu:a. balon merah dari kotak I dan balon merah dari kotak IIb. balon merah dari kotak I dan balon hitam dari kotak IIc. balon putih dari kotak I dan balon merah dari kotak IId. balon putih dari kotak I dan balon hitam dari kotak II10. Diketahui 13()PA=,25()PB=, dan 35()PA B∪=. Tunjukkan bahwa kejadian A dan kejadianB saling bebas.11. Misalkan A dan B adalah kejadian yang saling bebas, tetapi tidak saling lepas. Jika 13()PA=dan 35()PA B∪=, hitunglah peluang kejadian B.12. Seorang pelamar menerima panggilan untuk ujian di tiga perusahaan, X, Y, dan Z. Menurutperkiraannya, peluang diterima pada masing-masing perusahaan adalah 2/5, 3/10 dan 1/10.Berapa peluang dari kejadian:a. pelamar tidak diterima di salah satu perusahaan,b. pelamar tidak diterima di perusahaan X atau Y,c. pelamar diterima di salah satu perusahaan.13. Selama satu minggu sebuah stasiun TV mempunyai 20 program acara, 8 di antaranyaberisi infotainment, 9 acara berkaitan olahraga, dan 5 mata acara berisi infotainment dansekaligus olahraga. Jika Tobing memilih satu acara secara acak, berapakah peluang Tobingakan mendapatkan program acara yang berisi infotainment atau olah raga atau keduanya?14.ManajemenSebuah perusahaan HP mengirim produknya ke distributor dengan mengemas dalam suatukotak. Setiap kotak dapat menampung 12 HP dengan jenis yang sama. Untuk menghindarikomplain dari distributor, sebelum memasukkan HP ke dalam kotak, perusahaan menguji3 HP yang diambil secara acak dari setiap kotak. Semua HP dalam kotak dikirim, apabilatidak ada HP yang rusak dalam pengujian tersebut.a. Berapakah peluang terdapat 1 HP yang rusak?b. Berapakah peluang terdapat 2 HP yang rusak?c. Berapakah peluang suatu kotak itu tidak terkirim?d. Berapakah peluang suatu kotak itu terkirim?

105BAB II ~ Peluang15.SosialPeluang Pak Harno terpilih dalam pilkades Desa Gondangmanis adalah 38, sedangkanpeluang Pak Sukamto terpilih dalam pilkades Desa Madurahayu adalah 56. Berapapeluang:a. keduanya terpilih menjadi kepala desa,b. keduanya tidak terpilih, danc. Pak Harno terpilih dan Pak Sukamto tidak terpilih?2.5 Peluang Kejadian BersyaratUntuk memahami peluang dari kejadian bersyarat, kita ikuti percobaan pelemparandadu sisi enam sebayak satu kali. Misalkan kejadian munculnya mata dadu angka ganjildisyaratkan munculnya kejadian mata dadu angka prima lebih dahulu.Ruang sampel percobaan adalah S = {1,2,3,4,5,6}. Misalkan A = {2,3,5} adalah kejadianmunculnya mata dadu angka prima. Kita anggap A = {2,3,5} sebagai ruang sampel baruuntuk kejadian munculnya mata dadu angka ganjil, B = {3,5}. Dalam hal ini, munculnyakejadian B muncul tergantung atau disyaratkan kemunculan kejadian A lebih dahulu,kejadian semacam ini disebut kejadian bersyarat.Secara umum, munculnya kejadian A dengan kejadian B muncul terlebih dahuluditulis A|B. Sebaliknya, munculnya kejadian B dengan kejadian A muncul terlebih dahuluditulis B|A.Bagaimana menghitung peluang kejadian bersyarat, kita kembali pada percobaan diatas. Pertama, dalam ruang sampel semula S = {1,2,3,4,5,6}, dengan A = {2,3,5}, B = {3,5},maka {3,5}AB∩=. Dengan demikian, kita peroleh:12()PA=, 13()PB=, dan 13()PA B∩=Kedua, dalam ruang sampel yang baru A = {2,3,5}, n(A) = 3. Kejadian bersyarat B|A ={3,5}, n(B|A) = 2. Peluang kejadian bersyarat B|A adalah:(| ) 2(|) =() 3nB APB AnB=karena kejadian bersyarat B|A terjadi di dalam ruang sampel B.Dari kedua perhitungan di atas, kita peroleh hubungan bahwa:13 = 12×23ccc()PA B∩ = ()PB×(|)PB ADari hasil ini, maka kita peroleh:()(|)()PA BPB APB∩=, asalkan ()0PB≠Pembahasan di atas mengarah hasil yang berlaku secara umum untuk kejadianbersyarat.1. Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dahulu adalah:()(|)()PA BPB APB∩=, asalkan () 0PB≠ (2.15a)

Matematika Kelas XI - IPS SMA1062. Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dahulu adalah()(|)()PA BPA BPA∩=, asalkan () 0PA≠ (2.15b)Contoh 2.5.1Sebuah kotak berisi bola hitam dan bola putih, dan setiap bola yang ada diberi tanda Xatau Y. Komposisi bola-bola yang ada dalam kotak tersebut adalah:Tabel 2.5Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambilbola hitam bertanda X.Penyelesaian:Masalah ini dapat kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam (B)dengan syarat bola bertanda X muncul lebih dahulu. Terdapat 8 bola bertanda X daritotal 11 bola, sehingga peluang kejadian munculya X adalah:8()11PX=Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 bola berwarna hitam (B), sehingga 5BX∩=, dan5()11PB X∩=Dengan rumus persamaan (2.15), kita peroleh:()5/115(/)() 8/118PB XPB XPX∩=== = 5/11 58/11 8=Jadi, peluang kejadian terambil bola hitam bertanda X adalah (|)58PBX=.WContoh 2.5.2Sebuah dadu sisi enam dilemparkan sekali dan muncul kejadian mata dadu angka genap.Tentukan peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap yang lebih besar dari 3.Penyelesaian:Ruang sampel S= {1,2,3,4,5,6}. Misal kejadian munculnya mata dadu genap adalah A ={2,4,6}, dan kejadian munculnya mata dadu lebih besar 3 adalah B = {4, 5, 6}, sehingga{4,6}AB∩=. Dengan demikian,3()6PA= dan ()26PA B∩=3258311Hitam (B)Putih (W)TotalTanda615TotalXY

107BAB II ~ PeluangDengan rumus (2.15), kita peroleh:()2/62(|)() 3/6 3PA BPB APA∩===Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap yang lebih besar dari 3 adalah(|)23PB A=.WSebuah perusahaan memiliki 3 mesin, 1M, 2M, dan 3M. Kinerja dari setiap mesinberturut-turut adalah 1H, 2H, dan 3H. Mesin pertama menghasilkan 60% dari seluruhproduksi, mesin kedua menghasilkan 25% dari seluruh produksi, dan mesin ketigamenghasilkan 15% dari seluruh produksi. Selanjutnya berdasarkan hasil pemeriksaandiketahui bahwa 5% dari 1H, 2% dari 2H, dan 80% dari 3H adalah cacat. Jika suatuhasil produksinya diambil secara acak, berapakah peluang hasil itu cacat? Diskusikandalam kelompok Anda.Untuk menambah wawasan Anda tentang peluang lebih lanjut, kunjungilah:http://fionaangelina.com/2007/10/07/probabilitas1. Dalam suatu kotak terdapat 5 kelereng merah, 2 kelereng putih, dan 4 kelereng hijau. Jikadiambil dua kelereng berturut-turut tanpa dikembalikan, berapa peluang terambil 2kelereng hijau?2. Misalkan terdapat 3 bolam lampu yang rusak dicampur dengan 6 bola lampu yang baik.Jika dipilih secara acak 2 bolam lampu untuk dipasang, maka berapa peluang terambilbolam lampu pertama dan kedua dalam keadaan baik?3. Dua kartu diambil satu per satu secara acak tanpa dikembalikan dari satu set kartu bridge.Tentukan peluang kejadian pengambilan pertama muncul As dan pengambilan kedua King!4. Dalam suatu kelas terdapat 20 orang siswa, 5 di antaranya berbaju putih, 10 siswa berbajucokelat, dan 5 lainnya berbaju merah. Dipilih secara acak 3 orang siswa satu per satu,tentukan peluang kejadian:a. pertama terpilih memakai baju cokelatkedua terpilih memakai baju putihketiga terpilih memakai baju merahb. tiga siswa terpilih memakai baju cokelat semuac. Dua siswa terpilih berbaju cokelat dan satu siswa berbaju putihLatihan 2.5Tugas KelompokTugas Mandiri

Matematika Kelas XI - IPS SMA1085. Seorang siswa memiliki peluang lulus ujian bahasa Inggris adalah 0,6. Jika setelah ialulus bahasa Inggris, maka peluang lulus ujian komputer adalah 0,8. Hitung peluangsiswa tersebut lulus ujian bahasa Inggris dan komputer.6. Sebuah kotak berisi 7 bola pink dan 3 bola kuning. Jika dari kotak tersebut diambil 3 bolasecara acak satu per satu, maka hitunglah peluang kejadian:a. terambil 3 bola kuning,b. pengambilan pertama pink, kedua kuning, dan ketiga pink,c. terambil 2 bola pink dan 1 bola kuning.7. Dua buah dadu sisi enam dilemparkan bersama sebanyak satu kali. Misalkan:A adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 6,B adalah kejadian munculnya mata dadu angka 1 atau 2 pada dadu pertama,C adalah kejadian munculnya salah satu mata dadu angka 2.Dari data-data ini, hitunglah:a.(|)PABc.(|)PACb.(|)PB Ad.(|)PC B8. Sebuah mobil yang diuji mempunyai peluang gagal dalam ujian karena lampu adalah 1/4,karena setir adalah 1/2, dan karena rem adalah 1/3. Berapa peluang mobil itu akan lulus?9. Pesawat Boeing 747 memiliki 4 mesin yang bekerja secara independen. Pesawat tersebutdapat terbang, jika minimal 2 dari mesin-mesin tersebut bekerja dengan baik. Jika peluangterbaiknya mesin A = 0,8, mesin B = 0,7, mesin C = 0,6, dan mesin D = 0,9. Hitung peluangkejadian dari:a. pesawat tersebut ditunda penerbangannyab. pesawat tersebut dalam kondisi sangat baikc. pesawat tersebut layak diterbangkan10. Jika kejadian A dan B saling-bebas dengan P(A) = 1/2 dan ()23PA B∪=, hitunglah:a.P(B)b.(|)PABc.(|)cPB A11.SosialSuatu survei dilakukan terhadap 1.000 orang pelanggan suatu stasiun TV tentang duatanyangan olahraga dan berita dari stasiun tersebut. Pelanggan ditanya apakah puas atautidak puas terhadap acara olahraga dan berita tersebut. Tabel berikut menyajikan datahasil survei yang telah dilakukan.Jika keadaan puas dianggap sebagai kejadian sukses dan tidak puas sebagai kejadian gagal,tentukan masing-masing peluang berikut.a.P(olahraga dan sukses)b.P(berita dan sukses)c.P(olahraga dan gagal)d.P(berita dan gagal)1251252504006001.000PuasTidak PuasTotalAcara750475275TotalOlahragaBerita

109BAB II ~ Peluang1. Aturan PerkalianJika nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k setelah (k 1) tempat-tempatsebelumnya terisi, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia itu adalah:n1, n2, n3, , nk2. Permutasi k unsur dari n unsur, yang dinotasikan nkP adalah:!()!nknPnk=−dengan kn≤3. Kombinasi k unsur dari n unsur, yang dinotasikan nkC adalah:!!( )!nknCkn k=−4. Kejadian adalah kemungkinan hasil dari suatu percobaan.5. Kejadian sederhana adalah kejadian yang tidak mungkin muncul secara serempakdengan kejadian lain.6. Kejadian majemuk adalah kejadian yang tersusun dari kejadian-kejadian sederhana.7. Ruang sampel, dinotasikan dengan S, adalah keseluruhan kejadian sederhana darisuatu percobaan.8. Peluang kejadian A, ditulis P(A), adalah pengukuran tingkat keyakinan akan munculatau tidak munculnya suatu kejadian.9. Jika A kejadian dan S ruang sampel, maka:a.cAA S∪=b.cAA∩=∅c.c()1()PAPA=−d.0()1PA≤≤e.P(S) = 1 dan c()0PS=10. Aturan Penjumlahan: jika A dan B dua kejadian sembarang, maka:()()()()PA B PA PB PA B∪= + − ∩11. Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas, maka:()()()PA B PA PB∪= +12. Peluang bersyarat adalah peluang kejadian A dengan kejadian B diketahui telahterjadi, dan peluangnya:()(|)()PA BPA BPB∩=13. Jika kejadian A dan kejadian B saling bebas, maka:()()()PA B PA PB∩= ×Rangkuman

Matematika Kelas XI - IPS SMA110Munculnya teori peluang mungkin berawaldari adanya perjudian. Setiap orang yangberjudi pasti ingin menang. Akan tetapi,banyak orang yang berkata bahwa bermainjudi adalah mempertaruhkan keberuntungan,karena terkadang menang dan terkadangkalah. Oleh karena banyak penjudi yangtidak puas akan kekalahan, maka merekameminta bantuan para ahli matematikauntuk mengatur suatu strategi yang bagussehingga kemungkinan untuk menang lebihbesar. Matematikwan yang dimaksud, antaralain Pascal, Leibniz, Fermat, dan JamesBernoulli.Selain dalam perjudian, banyak bidang-bidang lain yang berkaitan dengankejadian-kejadian yang bersifat peluang, menggunakan bantuanteori peluang. Misalkan pada peramalan cuaca, penanamanmodal saham, dan penelitian ilmiah.Gambar 2.12Blaise PascalSumber: www.swlearning.comGambar 2.13LeibnizSumber: www.et.fh-koeln.deGambar 2.14FermatSumber: www.york.ac.ukSumber: www.et.fh-koeln.docGambar 2.15James BernoulliMath Info

111BAB II ~ PeluangI. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Dari angka 3, 5, 6, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri 3 angka kurang dari600 dan ganjil. Banyak bilangan-bilangan yang mungkin adalah ... .A. 26D. 18B. 24E. 16C. 202. Lima siswa pergi survei harga laptop ke luar kota dengan menyewa sebuahmobil. Dua di antara siswa itu ada 2 orang yang tidak dapat menyetir. Banyakcara mereka duduk di dalam mobil adalah ... .A. 120D. 24B. 72E. 12C. 603. Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata K, A, T, A, K, A, Nadalah ... .A. 90D. 420B. 10 5E. 840C. 2104. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 5 dari 7 soal, tetapi soal nomor 1 dannomor 2 harus dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambil adalah ... .A. 7D. 21B. 10E. 35C. 125. Nilai n yang memenuhi 212nP= adalah ... .A. 4D. 3B. 2E. 4C. 26. Tersedia angka 0, 2, 3, 4, 5, dan 7, akan dibuat suatu bilangan yang terdiridari 4 angka boleh berulang yang habis dibagi 5. Jumlah bilangan yangmungkin dibuat adalah ... .A. 432D. 240B. 360E. 180C. 3207. Sebuah panitia beranggotakan 4 orang akan dipilih dari 4 pria dan 7 wanita.Jika dalam panitia tersebut diharuskan ada paling sedikit 2 wanita, makabanyaknya cara memilih ada ... .A. 27D. 672B. 301E. 1.008C. 330Uji Kompetensi

Matematika Kelas XI - IPS SMA1128. Dalam kotak berisi 7 bola merah dan 5 bola putih. Diambil 3 bola sekaligus.Peluang terambilnya sekurang-kurangnya 1 bola putih adalah ... .A.37 44D.21 44B.3 544E.411C.2 5449. Dua buah dadu sisi enam dilemparkan bersama. Peluang muncul kejadianjumlah mata dadu bilangan ganjil adalah ... .A.23D.14B.12E.16C.1310. Dilemparkan dua buah dadu sisi enam secara serempak sebanyak 360 kali.Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 7 dan 10 adalah ... .A. 20 kaliD. 4 kaliB. 12 kaliE. 3 kaliC. 5 kali11. Jika diketahui 32nCn=, maka 27nC=... .A. 120D. 90B. 116E. 80C. 11212. Dari 200 siswa pada suatu SMA diketahui bahwa peluang siswa gemarinternet adalah P(A) sebesar 17 40 dan peluang siswa gemar membaca adalahP(B) sebesar 11 20. Diketahui bahwa ()740PA B∩=. Banyak siswa yanggemar internet atau membaca, tetapi tidak kedua-duanya adalah ... .A. 1.250D. 400B. 750E. 350C. 50013. Dua buah dadu sisi enam dilemparkan secara bersamaan sebanyak satu kali.Peluang kejadian munculnya mata dadu angka 1 untuk dadu kedua dengansyarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 5 terlebihdahulu adalah ... .A.23D.14B.12E.16C.1314. Diketahui kejadian A dan kejadian B dengan P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, dan()14PA B∩=, maka ()PA B∪= ... .A.712D.78B.23E.1112C.3415. Sebuah kotak berisi 5 balon hijau dan 3 balon kuning. Dari kotak itu diambil2 balon secara berurutan tanpa dikembalikan. Peluang kejadian terambil balonhijau pada pengambilan pertama dan balon kuning pada pengambilan keduaadalah ...A. 1556D.2 5 56B.18 56E.3 5 56C.20 56

113BAB II ~ PeluangII. PETUNJUKUntuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkatdan jelas!16. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka yangberbeda. Berapa banyak bilangan yang terbentuk yang kurang dari 400?17. Tiga macam hadiah yang berupa TV, video player, dan HP akan diberikankepada 10 karyawan teladan. Berapa macam cara memberikan hadiahtersebut?18. Tabel berikut adalah data dari distribusi frekuensi dari 200 kotak yang berisibuah apel impor. Jika dipilih satu kotak secara acak, berapa peluang bahwakotak tersebut berisi tidak lebih dari 214 buah apel.19. Peluang bahwa tembakan A mengenai sasaran 1/4 dan peluang tembakan Bmengenai sasaran adalah 2/5. Jika A dan B masing-masing menembak,berapakah peluang bahwa kedua tembakan itu mengenai sasaran?20. Dalam sebuah kotak terdapat m bola berwarna merah dan p bola berwarnaputih. Jika satu diambil secara acak dari kotak itu, maka peluang memperolehbola merah adalah 2/5. Jika 4 bola berwarna merah ditambahkan ke dalamkotak itu, maka peluang untuk memperoleh satu bola berwarna merahbertambah sebanyak 3/55. Tentukan m dan p.200 204205 209210 214215 219220 2244540455020Banyak Apel per KotakBanyak Kotak

Matematika Kelas XI - IPS SMA1141. Nomor-nomor telepon di wilayah Jawa Tengah terdiri dari tujuh angka yangdimulai dengan angka bukan nol. Jika nomor-nomor telepon itu dianggapsebagai suatu bilangan, hitung:a. banyak kemungkinan nomor telepon di Jawa Tengahb. banyak kemungkinan nomor telepon yang merupakan bilangan ganjilc. banyak kemungkinan nomor telepon yang merupakan bilangan genaptanpa ada angka berulangd. banyak kemungkinan nomor telepon yang merupakan bilangan kurangdari 7.000.0002. Suatu kantor memberlakukan masa percobaan terhadap setiap pegawainya.Terdapat 2 orang calon pegawai, yaitu A dan B, yang menjalani masapercobaan. Keduanya diberi proyek percobaan. Peluang A menyelesaikanpekerjaan adalah 2/3, dan peluang B menyelesaikan pekerjaan 1/3. Jika P(S|A)adalah peluang memuaskan hasil pekerjaan A yaitu 3/4, dan P(S|B) adalahpeluang memuaskan hasil pekerjaan B yaitu 2/5,a. carilah peluang A menyelesaikan pekerjaan dan suksesb. carilah peluang B menyelesaikan pekerjaan dan suksesc. dapatkah Anda membantu kantor tersebut untuk menentukan pegawaiyang akan dipilih?3. Plat nomor kendaraan bermotor pada wilayah tertentu diawali dengan duahuruf, kemudian diikuti dengan bilangan yang terdiri dari 4 angka dandiakhiri dengan susunan 2 buah huruf. Perhatikan skema berikut.Angka dan huruf dapat dipakai berulang.a. Ada berapa cara untuk membuat plat nomor kendaraan itu?b. Jika dua huruf pertama adalah AD, berapa banyak susunan plat nomorkendaraan bermotor yang dapat disusun?4. Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi frekuensi nilai ujian bahasa Inggrisdari 200 siswa. Jika dipilih seorang siswa secara acak, berapakah peluangbahwa nilai siswa tersebut tidak kurang dari 80?5.SosialDua orang mempunyai jadwal ronda yang sama, sekali dalam minggu yangsama (Senin sampai Jumat). Masing-masing mempunyai peluang yang samauntuk ronda pada hari apa saja. Berapa peluang mereka ronda:a. pada hari yang sama, danb. pada hari yang berurutan?70 7475 7980 8485 8990 945545305020Nilai UjianFrekuensiSoal Analisis

115BAB II ~ PeluangAktivitasNama : ..Tanggal : .Kelas : XIMateri Pokok : PeluangKelompok : ..Semester : 1 (satu)Kegiatan : Bermain kartu bridgeTujuan : Menentukan peluang suatu kejadianA. Alat dan bahan yang digunakan1. 1 set kartu bridge2. Buku catatan3. Alat pencatatB. Cara kerja1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 4 atau 5 siswa.2. Setiap kelompok ambillah satu set kartu bridge, yang terdiri atas 13 kartusekop (♠) dan 13 kartu cengkeh (♣) berwarna hitam, dan 13 kartu hati(♥) dan 13 kartu berlian (♦) berwarna merah. Jadi, 1 set kartu bridgeterdiri dari 26 kartu berwarna hitam dan 26 kartu berwarna merah.3. Ambillah 1 kartu dengan pengembalian dengan frekuensi: 15×, 30×, 45×,dan 60×. Tuliskan frekuensi munculnya kartu berwarna merah dantentukan peluangnya.4. Gambarkan grafik peluang munculnya kartu merah.5. Tentukan peluang pengambilan secara keseluruhan, yaitu 150pengambilan.6. Dari data di atas, apa yang dapat Anda simpulkan?C. Analisis1. Jika percobaan pengambilan kartu dilakukan sebanyak n kali dan Amuncul sebanyak k kali (0kn≤≤), tentukan peluang munculnya kejadianA tersebut.2. Jika banyak pengambilan (n) mendekati tak hingga, bagaimana nilaiperbandingan munculnya kejadian dengan banyak pengambilan?3. Bagaimana menentukan nilai peluang munculnya kejadian A tersebut?1.2.Frekuensi munculnya kartu merahPeluang munculnya kartu merahBanyak PengambilanNo.15× 30× 45× 60×Aktivitas Proyek

Matematika Kelas XI - IPS SMA116Menebak Umur SeseorangAndaikan kita akan menebak umur seseorang yang umurnya 60 tahun ke bawah.Susunlah bilangan 1, 2, 3, ..., 60 itu dalam 6 kartu sebagai berikut.A B CD E FMintalah orang yang akan ditebak umurnya itu meneliti bilangan-bilangan yang tertulispada kartu-kartu itu, dan supaya ia mengatakan ya seandainya umurnya tercantum padakartu-kartu itu dan mengatakan tidak seandainya umurnya tidak tercantum. Andaikania mengatakan ya untuk kartu-kartu bernomor A, C, dan E, maka umur orang itu ialah21 tahun. Ini diperoleh dengan jalan menjumlahkan bilangan-bilangan pada sudut kiriatas dari setiap kartu yang ia sebutkan ya, yaitu 1 + 4 + 16 = 21.1 3 5 7 911 13 15 17 1921 23 25 27 2931 33 35 37 3941 43 45 47 4951 53 55 57 592 3 6 7 1011 14 15 18 1922 23 26 27 3031 34 35 38 3942 43 46 47 5051 54 55 58 594 5 6 7 1213 14 15 20 2122 23 28 29 3031 36 37 38 3944 45 46 47 5253 54 55 608 9 10 11 1213 14 15 24 2526 27 28 29 3031 40 41 42 4344 45 46 47 5657 58 59 6016 17 18 19 2021 22 23 24 2526 27 28 29 3031 48 49 50 5152 53 54 55 5657 58 59 6032 33 34 35 3637 38 39 40 4142 43 44 45 4647 48 49 50 5152 53 54 55 5657 58 59 60Teka-Teki Matematika

117Latihan Ulangan Umum Semester 1I. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 40, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Nilai rataan ulangan matematika dari 35 siswa adalah 58. Jika nilai Santi danTono digabungkan dengan kelompok tersebut nilai rataannya menjadi 59.Nilai rataan Santi dan Tono adalah ... .A.1277D.1274B.1276E.1273C.12752. Suatu data dengan rataan 20 dan jangkauan 4. Jika setiap nilai data dikalikandengan p kemudian dikurangi dengan q diperoleh data baru dengan rataan25 dan jangkauan 6, maka 2p + q = ... .A. 4D. 7B. 5E. 8C. 63. Median dan modus dari kelompok data:36758469adalah ... .A. 7 dan 5D. 5 dan 7B. 6 dan 6E. 5 dan 6C. 6 dan 74. Umur rataan dari kelompok pegawai swasta dan pegawai negeri adalah42 tahun. Jika umur rataan pegawai swasta 39 tahun dan umur rataan pegawainegeri adalah 47 tahun, maka perbandingan jumlah pegawai swasta danpegawai negeri adalah ... .A. 3 : 4D. 5 : 4B. 3 : 5E. 5 : 3C. 3 : 7LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER 1Mata pelajaran : MatematikaKelas: XIProgram : IPSSemester : IWaktu: 150 menitJumlah Soal : 50Jenis Soal : Bentuk Objektif dan Bentuk Uraian

Matematika Kelas XI - IPS SMA1185. Suatu kelompok data mempunyai histogram seperti di bawah ini.Pernyataan berikut yang benar adalah ... .A. kuartil ketiga 70 dan rataan 54,2B. kuartil bawah 40 dan rataan 52,4C. median 60 dan kuartil atas 80D. median 65 dan rataan 54,2E. modus 54,2 dan median 606. Diketahui kumpulan data:8 11 11, 512 13 13, 514 18Pernyataan berikut yang benar adalah .A. rentang (R) adalah 5B. hamparan (H)adalah 2,25C. nilai data terkecil adalah pencilanD. simpangan kuartil adalah 1,5E. semua nilai data konsisten7. Diberikan data sebagai berikut.Jika rataan kelompok data adalah 35, maka nilai a adalah ... .A. 8D. 14B. 10E. 16C. 1220 2425 2930 3435 3940 442410a8IntervalFrekuensi12108642 Frekuensi20 30 40 50 60 70 80 90 Nilai

119Latihan Ulangan Umum Semester 18. Ragam atau variansi dari kumpulan data:35910668910adalah ... .A. 4D. 7B. 5E. 8C. 69. Dalam suatu kelas terdapat 40 siswa, nilai rataan bahasa Indonesia 7. Jikaseorang siswa yang nilainya 10 dan 3 orang siswa yang nilainya 3 tidakdisertakan, maka rataannya berubah menjadi ... .A. 7,0 5D. 7,2 5B. 7,4 5E. 7,6 5C. 7,5510. Hasil ujian 30 calon pegawai menghasilkan kelompok data berikut.Calon dikatakan lulus apabila nilainya lebih dari 60. Jika banyaknya pegawaiyang diterima adalah 16 orang, maka ab = ... .A. 18D. 25B. 20E. 30C. 2411. Rataan sumbangan untuk korban bencana alam dari 25 siswa adalahRp35.000,00. Jika sumbangan dari Kania digabungkan dengan kelompoksiswa tersebut, maka rataan sumbangan menjadi Rp36.000,00. Besarsumbangan Kania adalah ... .A. Rp45.000,00D. Rp61.000,00B. Rp53.000,00E. Rp71.000,00C. Rp56.000,0012. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri 5, 8, 10, dan 17 orangmengumpulkan dana untuk kegiatan P3K. Rataan sumbangan masing-masingkelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Rataansumbangan dari 40 siswa tersebut adalah .A. Rp1.050,00D. Rp2.015,00B. Rp1.255,00E. Rp2.275,00C. Rp1.925,0021 3031 4041 5051 6061 7071 8081 9011a9b62IntervalFrekuensi

Matematika Kelas XI - IPS SMA12013. Lima karyawan, A, B, C, D, dan E, mempunyai pendapatan bervariasi.Pendapatan A besarnya setengah pendapatan E. Pendapatan B lebihRp100.000,00 dari A. Pendapatan C lebih Rp150.000,00 dari A. Pendapatan Dkurang Rp180.000,00 dari E. Jika rataan pendapatan kelima karyawan adalahRp525.000,00, maka pendapatan karyawan D adalah .A. Rp515.000,00D. Rp550.000,00B. Rp520.000,00E. Rp565.000,00C Rp535.000,0014. Tahun yang lalu, gaji permulaan 5 orang karyawan dalam ribuan rupiahadalah: 480, 360, 650, 700, 260. Tahun ini gaji mereka naik 15% bagi yangsebelumnya bergaji kurang dari Rp500.000,00 dan 10% bagi yang sebelumnyabergaji lebih dari Rp500.000,00. Rataan besarnya kenaikan gaji mereka perbulan adalah ... .A. Rp60.000,00D. Rp64.000,00B. Rp62.000,00E. Rp65.000,00C. Rp63.000,0015. Seorang pedagang beras pada bulan Januari dapat menjual 90 kg. Mulai bulanFebruari sampai dengan Desember selama satu tahun, setiap bulannya selalubertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jika keuntungan per kilogram adalahRp300,00, maka rataan keuntungan tiap bulan adalah ... .A. Rp14.500,00D. Rp174.500,00B. Rp29.000,00E. Rp348.500,00C. Rp43.500,0016. Dalam menghitung rataan dari suatu data terkelompok dengan menggunakanrataan sementara, maka rataan sementara dapat ditentukan pada ... .A. sembarang kelas intervalB. kelas interval dengan frekuensi tertinggiC. kelas interval yang berada di tengah deretan kelas intervalD. kelas interval dengan frekuensi paling rendahE. kelas interval yang memuat modus17. Diketahui data:1, 52, 56, 57, 59, 5Rataan simpangan data di atas adalah ... .A. 2,8D. 1,8B. 2, 5E. 0C. 2,418. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 9 dari 10 soal, tetapi soal nomor 1sampai dengan nomor 8 harus dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambiladalah ... .A. 3D. 8B. 5E. 10C. 619. Dari angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri 3 angka kurangdari 400. Banyak bilangan dengan angka-angka yang berlainan adalah ... .A. 20D. 80B. 3 5E. 120C. 40

121Latihan Ulangan Umum Semester 120. Sebuah panitia beranggotakan 5 orang akan dipilih dari 10 pria dan 7 wanita.Banyaknya cara memilih ada ... .A. 1.557D. 5.175B. 1.575E. 5.715C. 1.59521. Jika diketahui 21542nnCC++=, maka 210nC= ... .A. 802D. 1.820B. 808E. 4.108C. 1.28022. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri atas satu huruf dan diikutidua buah angka yang berbeda, dengan angka kedua bilangan ganjil. Banyaknomor undian adalah ... .A. 1.18 5D. 1.16 5B. 1.180E. 1.160C. 1.17023. Banyak segitiga yang dapat dibuat dari 9 titik yang tidak segaris adalah ... .A. 128D. 84B. 104E. 48C. 9224. Dalam kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Diambil 3 bola sekaligus.Peluang terambilnya bola berbeda warna adalah ... .A.112D.25B.16E.45C.1525. Dalam suatu kegiatan pramuka, regu A harus menambah 3 anggota lagi yangdapat dipilih dari 7 orang. Banyak cara memilih yang dapat dilakukan olehregu A adalah ... .A. 28D. 54B. 32E. 70C. 3526. Sebuah panitia yang beranggotakan 4 orang akan dipilih dari kumpulan4 pria dan 7 wanita. Jika dalam panitia tersebut diharuskan ada paling sedikit2 wanita, maka banyak cara memilih ada ... .A. 27D. 672B. 301E. 1.008C. 33027. Nilai n yang memenuhi 212nP= adalah ... .A. 4D. 3B. 3E. 4C. 228. Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata MATARAMadalah ... .A. 90D. 420B. 10 5E. 840C. 210

Matematika Kelas XI - IPS SMA12229. Dua buah dadu sisi enam dilemparkan bersama. Peluang munculnya jumlahmata dadu 7 atau 10 adalah ... .A.59D.19B.14E.29C.1730. Dilemparkan empat keping mata uang logam secara bersama sebanyak 72kali. Frekuensi harapan muncul dua gambar adalah ... .A. 48 kaliD. 21 kaliB. 36 kaliE. 18 kaliC. 27 kali31. Sebuah kotak berisi 4 balon kuning dan 6 balon hijau. Jika dilakukan tigakali pengambilan tanpa dikembalikan, maka peluang pada dua pengambilanpertama hijau dan pengambilan ketiga kuning adalah ... .A.115D.215B.112E.16C.1832. Peluang Kanta lulus SPMB adalah 0,95, sedang peluang lulus Liana 0,92.Peluang Kanta tidak lulus, tetapi Liana lulus SPMB adalah ... .A. 0,043D. 0,92B. 0,046E. 0,958C. 0,04933. Dua dadu sisi enam dilemparkan bersama. Peluang munculnya kejadianjumlah mata dadu ganjil adalah ... .A. 2/3D. 1/4B. 1/2E. 1/6C. 1/334. Frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 7 dan 10 daripelemparan dua dadu sisi enam sebanyak 360 kali adalah ... .A. 3 kaliD. 12 kaliB. 4 kaliE. 20 kaliC. 5 kali35. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika dua bola diambilsatu per satu tanpa pengembalian, maka peluang terambil kedua bola berbedawarna adalah ... .A. 5/18D. 4/27B. 5/9E. 2/27C. 1/636. Jika sebuah uang logam yang tidak setimbang dilemparkan sekali sehinggamunculnya sisi angka adalah dua kali sisi gambar, maka peluang munculnyasisi angka adalah ... .A. 1/4D. 2/3B. 1/3E. 3/4C. 1/2

123Latihan Ulangan Umum Semester 137. Jika P(A) = 3/8, P(B) = 1/2 , dan ()14PA B∩=, maka cc()PA B∩= ... .A. 3/8D. 5/8B. 1/2E. 1C. 5/938. Tiga siswa, A, B, dan C, berlomba renang. Siswa A dan B mempunyai peluangyang sama untuk menang dengan peluangnya dua kali peluang dari siswa Cuntuk menang. Peluang siswa B menang dalam prlombaan renang tersebutadalah A. 1/2D. 2/3B. 1/3E. 3/4C. 2/539. Tiga mata uang logam yang setimbang dilambungkan sekali. Peluang bahwaketiganya muncul sisi angka, apabila salah satu dari ketiga mata uang tersebutmuncul sisi angka adalah ...A. 1/8D. 1/5B. 1/7E. 1/4C. 1/640. Dua dadu dilemparkan sekali secara bersama. Jika K adalah kejadian bahwajumlah mata dadu lebih dari 10, L adalah kejadian bahwa mata dadu pertamaadalah bilangan prima, dan M adalah kejadian bahwa kedua mata dadumuncul angka sama, maka kejadian ... .A.K dan L saling bebasB.K dan M saling lepasC.L dan M tidak saling bebasD.K dan L tidak saling bebasE.L dan M saling lepasII. PETUNJUKUntuk soal nomor 41 sampai dengan nomor 50, kerjakan dengan singkatdan jelas!41. Nilai ulangan bahasa Inggris kelas XI suatu SMA diberikan oleh data berikut.Nilai rataan seluruhnya adalah 68. Nilai rataan kelas XI IPS adalah 75 dannilai rataan kelas XI Bahasa adalah 64.a. Tentukan perbandingan bayak siswa kelas XI IPS dengan banyak siswakelas XI Bahasa.b. Jika banyak siswa kelas XI Bahasa adalah 210, berapa banyak siswa kelasXI IPS?42.Diketahui kelompok data yang disajikan dalam tabeldistribusi frekuensi di samping.a. Tetukan median, modus, dan rataan data disamping.b. Buatlah ogivenya.c. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya.21 3031 4041 5051 6061 7071 8081 90250201508Interval Frekuensi

Matematika Kelas XI - IPS SMA12443. Jika diketahui 1145nnC+−=, tentukan nilai n yang memenuhi.44. Lima pasang suami-istri pergi ke suatu pesta pernikahan denganmenumpang 2 mobil, yang masing-masing berkapasitas 6 orang. Jika setiappasang harus naik mobil yang sama, berapakah banyak cara pengaturanpenumpang kedua mobil?45. Peluang terjadinya kebakaran pada musim kemarau adalah 0,1, sedang padamusim penghujan adalah 0,05. Jika menurut catatan, lamanya musim panasadalah 60% dari sepanjang tahun, berapakah peluang terjadinya kebakarantepat pada musim hujan.46. Peluang bahwa 10 tahun lagi seorang suami masih hidup adalah 1/4 danpeluang bahwa 10 tahun lagi istrinya masih hidup adalah 1/3. Berapakahpeluang bahwa keduanya masih hidup dalam 10 tahun lagi?47. Dalam sebuah keranjang terdapat 20 butir telur rebus, 12 butir di antaranyaadalah telur ayam dan sisanya adalah telur bebek. Dari sejumlah telur itu, 4butir telur ayam dan 3 butir telur bebek dibuat telur asin. Kemudian diambilsecara acak satu butir dari keranjang tersebut. Berapakah peluang untukmemperoleh telur bebek yang tidak asin?48. Dalam suatu ujian, seorang siswa harus menjawab 8 soal dari 10 soal yangdiujikan.a. Berapa banyak pilihan yang dimiliki siswa tersebut?b. Jika harus menjawab 3 soal pertama, berapa banyak pilihan yang dimilikisiswa tersebut ?49. Terdapat tiga buah kotak , yaitu A, B, dan C. Kotak A berisi 6 bola merah dan8 bola putih. Kotak B berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Kotak C berisi 8bola merah dan 4 bola putih. Sebuah kotak dipilih secara acak dan sebuahbola diambil dari kotak tersebut. Jika yang terambil adalah bola merah, berapapeluang bahwa bola itu berasal dari kotak A?50. Misalkan A adalah kejadian bahwa suatu keluarga mempunyai anak laki-laki dan perempuan, B adalah kejadian bahwa suatu keluarga mempunyaianak paling bayak satu laki-laki.a. Tunjukkan bahwa kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas,apabila suatu keluarga mempunyai 3 anak laki-laki.b. Tunjukkan bahwa kejadian A dan B merupakan kejadian tidak salinglepas, apabila suatu keluarga mempunyai 2 anak laki-laki.